aseebsman

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Asignatura: C´lculo I, M´dulo B´sico Ingenieria
a
o
a
Primer Semestre 2013

CONTROL I (versi´n A)
oProblema 1. Dos puntos xa y xb se mueven sobre un mismo eje real de modo que su posici´n
o
est´ dada en cada instante t, t ≥ 0, por
a
xa =

2t
;
|t − 2| + |t − 1|

xb =

1
.
|t − 2|+ |t − 1|

Determine el conjunto de todos los instantes para los cuales la distancia entre xa y xb es menor
a 1. (20 pts.)

Problema 2. Encuentre todas las posibles dimensiones que puede tener ellargo de un rect´ngulo
a
que cumple con las siguientes condiciones:
i) El per´
ımetro debe ser igual a 10 [m].
ii) El ´rea debe ser mayor que 3 [m2 ].
a

Problema 3. Resuelva en R lasiguiente inecuaci´n:
o
14x2 + 8x + 3
4x2 + 13x + 3
<
2x − 1
x+3

(20 pts.)

PAUTA CONTROL I (versi´n A)
o
Problema 1. Dos puntos xa y xb se mueven sobre un mismo eje real de modo que su posici´no
est´ dada en cada instante t, t ≥ 0, por
a
xa =

2t
|t − 2| + |t − 1|

;

xb =

1
|t − 2| + |t − 1|

Determine el conjunto de todos los instantes para los cuales la distancia entrexa y xb es menor
a 1. (20 pts.) La distancia entre los puntos es dada por d(xa , xb ) = |xa − xb |, luego debemos
resolver la inecuaci´n:
o
2t
1
2t − 1
−
=
< 1.
|t − 2| + |t − 1| |t − 2| +|t − 1|
|t − 2| + |t − 1|
Lo anterior equivale tambi´n a resolver a desigualdad |2t − 1| < |t − 2| + |t − 1|.
e
Caso en que 0 ≤ t < 1.
2t − 1
2t − 1
< 1
< 1 ⇔ −1 <
2t − 3
2t − 3
2t − 1
2t −1
⇔ −1 <
∧
< 1
2t − 3
2t − 3
4(t − 1)
2
⇔ 0<
∧
< 0
2t − 3
2t − 3
3
⇔ 0 < (t − 1)(t − ) ∧ 2t − 3 < 0
2) (
(
)
3
3
⇔ (t < 1) ∨ t >
∧ t <
2
2

Intersectando con el conjuntorestricci´n se tiene que
o
[(
]
[) ]
[]
3
3
SI =
]−∞, 1[ ∪
, +∞
∩ −∞,
∩ [ 0, 1 [ = [ 0, 1 [ .
2
2
Caso en que 1 < t < 2.

|2t − 1| < 1 ⇔ −1 < 2t − 1 < 1
⇔ 0 < 2t < 2
⇔ 0 2. (Soluci´n...