Asesoría matemáticas producto notable y factorización

Apéndice A: Productos notables y factorización
Productos notables
Los productos notables son multiplicaciones de binomios que pueden resolverse sin necesidad de realizar la operación matemática. En este apéndice trabajaremos con algunos de los más comunes:
Cuadrado de un binomio
Binomios con término común
Binomios conjugados
Por otra parte, es importante señalar que si bien en los ejemplos sepresenta el desarrollo, paso a paso, de los productos notables, lo ideal es hacerlo mentalmente.
Cuadrado de un binomio
Para determinar el resultado del cuadrado de un binomio, nos auxiliaremos de la figura 1; donde se muestra un cuadrado de lados (a + b) y cuya área, (a + b)(a + b) = (a + b)2, puede calcularse sumando las áreas de las partes I, II, III y IV.

Figura 1
Actividades
1. Determina elárea que se indica (recuerda que nos referimos a la figura 1):
a) Área I
__________

b) Área II
___________
c) Área III
__________

d) Área IV
___________

2. La suma de las áreas de la actividad anterior es:
(a + b)2
=
_______
+
________
+
_________
+
________


Área I

Área II

Área III

Área IV
Simplifica la expresión anterior, reduciendo términos semejantes:
(a + b)2 = ______ + ______+______
Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es la suma algebraica del primer término al cuadrado con el doble del primero por el segundo y con el segundo al cuadrado.
Ejemplos
Desarrollemos sin efectuar la multiplicación:
1. (3x  2y)2.
Primer término al cuadrado:
(3x)2 = 9x2
El doble del primero por el segundo:
2(3x)(2y) = 12xy
Segundo término al cuadrado:
(2y)2 = 4y2
Por tanto,
(3x 2y)2 = 9x2  12xy + 4y2.
2. .
Primer término al cuadrado:

El doble del primero por el segundo:

Segundo término al cuadrado:

Por tanto,

Actividades
3. Desarrolla sin efectuar la multiplicación los siguientes binomios al cuadrado.
a) (x + 5)2
2E
b) (y  3)2

c) (4m + 6)2
2E
d) (3y - 7)2

e) (8m  3n)2
2E
f) (4x + 3y)2

g) (3x2  5y3)2
2E
h) (7m4 + 3m3)2

i)
3E
j)

Producto de binomioscon término común
Para determinar el resultado del producto de binomios con término común, nos auxiliaremos de la figura 2, donde se presenta un rectángulo de lados (x + a) y (x + b), cuya área puede calcularse sumando las áreas de las partes I, II, III y IV.

Figura 2
Actividades
4. Determina el área que se indica (recuerda que nos referimos a la figura 2):
Área I
__________

Área II
___________Área III
__________

Área IV
___________

5. La suma de las áreas de la actividad anterior es:
(x+a)(x+b)
=
______
+
_______
+
________
+
_______


Área I

Área II

Área III

Área IV

Al simplificar la expresión anterior obtenemos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Producto de binomios con término común
El producto de dos binomios con término común es la suma algebraica del cuadrado del términocomún, con el producto de la suma de los no comunes por el término común y el producto de los términos no comunes.

Ejemplos
Desarrollemos por simple inspección:
1. (m  9) (m + 12).
Cuadrado del término común:
(m)2 = m2
Suma de los no comunes por el término común:
(9 + 12)m = 3m
Producto de los términos no comunes:
(9)(12)= 108
Por tanto,
(m  9) (m + 12) = m2 + 3m  108
2. .
Cuadrado deltérmino común:

Suma de los no comunes por el término común:

Producto de los términos no comunes:

Por tanto,

Actividades
6. Sin efectuar la multiplicación, encuentra el resultado de los siguientes productos con término común:
a) (x + 2) (x + 5)
2E
b) (y + 1) (y - 3)

c) (m  7) (m + 4)
2E
d) (x - 3) (x  5)

e) (y  4) (y  9)
2E
f) (2m  4) (2m  5)

g) (3x4  10) (3x4 + 15)
2E
h) (6y + 25x)(6y  28x)

i)
3E
j)

Producto de binomios conjugados
Dos binomios son conjugados si en ambos hay un término común y los otros dos son simétricos (solo difieren en el signo). Por ejemplo, son términos simétricos x y –x, 4a2 y 4a2, etcétera.
Para determinar el resultado del producto de binomios conjugados, nos auxiliaremos de la figura 3, donde se presenta un rectángulo de lados (a + b)...