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Los Números Naturales

Los números naturales sirven para contar. Al ser elementos
innatos al pensamiento humano, fue necesario razonar sobre sus
propiedades para definirlos matemáticamente: pormedio de
axiomas conocidos como los postulados de Peano:
1.
2.
3.
4.
5.

1 ∈ ℕ.
∀ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑛∗ ∈ ℕ.
∀ 𝑛 ∈ ℕ, 1 ≠ 𝑛∗ .
Si ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ tal que 𝑛∗ = 𝑚∗ ⇒ 𝑛 = 𝑚.
Si para un conjunto no vacío 𝐴:a. 1 ∈ 𝐴.
b.
𝑘 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑘 ∗∈ 𝐴.
entonces 𝐴 = ℕ.

Los postulados denotan matemáticamente el concepto intuitivo de número natural.

Operaciones: adición y producto

La suma en los números naturalesse define como
1.
2.

𝑚 + 1 = 𝑚∗ , ∀ 𝑚 ∈ ℕ.
𝑚 + 𝑛∗ = (𝑚 + 𝑛)∗ ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Cumpliendo con las propiedades de:





cerradura.
asociación.
conmutación.
cancelación.

Por otrolado, la definición de multiplicación indica
1.
2.

𝑚 · 1 = 𝑚, ∀ 𝑚 ∈ ℕ.
𝑚 · 𝑛∗ = 𝑚 · 𝑛 + 𝑚 ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Cuyas propiedades son:
1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

Álgebra - Formalización de losNúmeros Reales







2014

cerradura.
asociación.
conmutación.
elemento neutro.
cancelación.

Junto con la suma proporcionan la


distribución.

Orden

Al ser un conjunto consucesor y antecesor, los números naturales presentan un orden. Dicho
orden se establece con base en la jerarquía del sucesor y antecesor, donde el primero es
mayor que el segundo. Entonces sepueden establecer tres situaciones para cada pareja de
números naturales: 𝑚 < 𝑛,𝑚 = 𝑛 y 𝑚 > 𝑛, donde una y sólo una de las tres se satisface.
Esta propiedad se conoce como la ley de la tricotomía.
Conbase en las operaciones definidas en los números naturales y el orden establecido entre
ellos, existen tres propiedades fundamentales en el orden:




𝑚 < 𝑛 ⇒ 𝑚 + 𝑝 < 𝑛 + 𝑝.
𝑚 < 𝑛 ⇒ 𝑚 · 𝑝 < 𝑛· 𝑝.
𝑚 < 𝑛, 𝑛 < 𝑝 ⇒ 𝑚 < 𝑝.

Inducción Matemática

Ésta última propiedad se llama transitividad.

Es un razonamiento utilizado en la demostración de
proposiciones que dependen de un...