asgd

Facultad de Ingenier´
ıa
Ingenier´ en Civil Industrial / C´lculo III
ıa
a
Profesor: Hugo Santander

Guía 3
1. Calcular las derivadas parciales de primer orden de cada una de las siguientesfunciones:
a) z = (3xy 3 + 2x2 y)4

d) f (x, y) =

b)

e5−2x
y3

z=

e) f (x, y) =

x+1
y−1

c) z = x2 yexy

xy 2
x3 y 2 + 1

f) f (x, y) = ln

x y
+
y x

u
2. Sea f (x, y)= 10 − x2 − 5y 2 . Encontrar fx (1, 0) y fy (1, 0) e interpretar estos n´meros,
como pendientes.
exy
3. Sea z = f (x, y) = x
. Probar que: zx + zy = (x + y − 1)z.
e + ey
4. Para cada una de lassiguientes funciones, determinar la derivada parcial que se se˜ala:
n
f (x, y) = x2 y 3 − 5x4 y 3 ;

f (x, y, z) = x5 − 3x3 y 4 z 4 + 2y 2 z 3 ;
z = xsen(y);

f (x, y) = ex

fxxx

2 y3

;f (x, y, z) = exyz ;

fxyz

∂3z
∂y∂x2

fxxy
fyzy

u = ln(x + 2y 2 + 5z 3 );

uxyz

∂z ∂z
y
, y evaluar cada una de estas funciones en el punto (x0 , y0 , z0 ) indi∂x ∂y
cado, si zse define impl´
ıcitamente como funci´n de x e y, por medio de la ecuaci´n:
o
o

5. Encontrar

a) x2 + y 2 − z 2 = 2x(y + z); (1, 1, 0)
6.

b)

y2

xy
= z; (0, 1, 0)
+ z2

a) Sea u =f (x, y) = sin(x − 3y) + ln(x + 3y). Calcular y simplificar la expresi´n:
o
uyy − 9uxx .
b) Si f y g son funciones de una s´la variable, dos veces diferenciable, demostrar que
o
la funci´n:
ou(x, t) = f (x + at) + g(x − at)
satisface la ecuaci´n de onda utt = a2 uxx
o

7. Determinar, si es que existe, una funci´n z = f (x, y), tal que:
o
fx (x, y) = 8x − y + 5,

fy (x, y) = −xDe existir una funci´n que cumpla ambas condiciones, ¿es unica?.
o
´
8. En econom´ una funci´n de producci´n es la llamada funci´n de Cobb-Douglas, que se
ıa,
o
o
o
define: P = c · K α Lβ , talque c, α y β son constantes positivas y α + β = 1. Probar:

a)

∂P
P
=α
∂K
K

b)

∂P
P
=β
∂L
L

c) K

∂P
∂P
+L
=P
∂K
∂L

∂P
∂P
y
representan las productividades...