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Ejemplo 5.5
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto (2,-3) de una placa metálica cuya temperatura en (x,y) es . Encontrar la trayectoriade la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura.
Solución
Representaremos la trayectoria por la funciónposición

Un vector tangente en cada punto (x(t),y(t)) viene dado por

Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la direcciónde

son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego

Estas ecuaciones diferenciales representan un crecimiento exponencial y las soluciones son

Comola partícula parte de (2,-3) se sigue que 2=x(0)=C1 y -3=y(0)=C2. Luego la trayectoria se representa mediante

Eliminando el parámetro t, obtenemosMostramos esta trayectoria en la figura 5.6.

figura 5.6
Camino seguido por una partícula que va hacia el calor
En la figura 5.6, la trayectoria de la partícula(determinada por el gradiente en cada punto) aparece como ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto se clarifica cuando consideramos el hecho de que latemperatura T(x,y) es constante sobre una curva, de nivel dada. Luego en un punto arbitario (x,y) de la curva, la razón de cambio de T en la dirección de un vectortangente unitario u es 0, y podemos escribir

u es un vector tangente unitario. Puesto que el producto escalar de y u es cero, deben ser ortogonales. Esteresultado se anuncia en el siguiente teorema:
Teorema 5.4
Si f es diferenciable en (x0,y0) y , entonces es normal a la curva de nivel que pasa por (x0,y0).