Asignacion de escuelas

ASGINACIÓN DE ESCUELAS

El consejo directivo de la escuela Springfield ha tomado la decisión de cerrar una de sus escuelas de nivel medio (sexto, séptimo y octavo grados) al final de este año escolar y reasignar a todos los estudiantes del próximo año en las tres escuelas restantes. El distrito escolar proporciona transporte para todos aquellos que deban trasladarse más de una millaaproximadamente, por lo que el consejo directivo desea planear la reasignación de manera que minimice el costo total de transporte. El costo anual por transporte por estudiante desde cada una de las seis áreas residenciales a cada escuela se muestra en la siguiente tabla (junto con otros datos básicos para el siguiente año), donde 0 indica que no es necesario el transporte y un guión indica que laasignación no es factible.

Área
Núm. de estudiantes
Porcentaje en 6° grado
Porcentaje en 7° grado
Porcentaje en 8° grado
Costo de transporte por estudiante





Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
1
450
32
38
30
$300
0
$700
2
600
37
28
35
-
$400
$500
3
550
30
32
38
$600
$300
$200
4
350
28
40
32
$200
$500
-
5
500
39
34
27
0
-
$400
6
450
34
28
38$500
$300
0
Capacidad de la escuela
900
1100
1000

La escuela también impone la restricción de que cada grado debe constituir entre 30% y 35% de cada población escolar. La tabla anterior muestra el porcentaje de la población escolar de nivel medio en cada área para el siguiente año, que cursará cada grado. Las fronteras de asistencia a la escuela se pueden trazar de manera que se dividacualquier área entre más de una escuela, pero suponga que los porcentajes de la tabla se mantendrán para cualquier asignación parcial de un área a una escuela.
El consejo directivo lo contrató como consultor de investigación de operaciones para ayudarle a determinar cuántos estudiantes en cada área deben de asignares a cada escuela.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.Solución
Sean
Xij: cantidad de alumnos del 6° grado del área i asignados a la escuela j. i=1, 2,…, 3; j=1, 2, 3.
Yij: cantidad de alumnos del 7° grado del área i asignados a la escuela j. i=1, 2,…, 3; j=1, 2, 3.
Zij: cantidad de alumnos del 8° grado del área i asignados a la escuela j. i=1, 2,…, 3; j=1, 2, 3.

Restricciones de la capacidad de las escuelasX11+X21+X31+X41+X51+X61+Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61+Z11+Z21+Z31+Z41+Z51+Z61≤900
X12+X22+X32+X42+X52+X62+Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Z12+Z22+Z32+Z42+Z52+Z62≤1100
X13+X23+X33+X43+X53+X63+Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63+Z13+Z23+Z33+Z43+Z53+Z63≤1000

Restricciones de cantidad de alumnos de cada grado por asignar a cada escuela
X11+X12+X13=144
Y11+Y12+Y13=171
Z11+Z12+Z13=135
X21+X22+X23=222
Y21+Y22+Y23=168Z21+Z22+Z23=210
X31+X32+X33=165
Y31+Y32+Y33=176
Z31+Z32+Z33=209
X41+X42+X43=98
Y41+Y42+Y43=140
Z41+Z42+Z43=112
X51+X52+X53=195
Y51+Y52+Y53=170
Z51+Z52+Z53=135
X61+X62+X63=153
Y61+Y62+Y63=126
Z61+Z62+Z63=171

Restricciones de que cada grado debe constituir entre 30% y 35% de cada población escolar
X11+X21+X31+X41+X51+X61≥270
X11+X21+X31+X41+X51+X61≤315
Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61≥330Y11+X21+Y31+Y41+Y51+Y61≤385
Z11+Z21+Z31+Z41+Z51+Z61≥300
Z11+Z21+Z31+Z41+Z51+Z61≤350

El modelo de programación lineal para el caso es el siguiente
MIN Z = 300X11+300Y11+300Z11+700X13+700Y13+700Z13+MX21+MY21+MZ21+400X22+400Y22+ 400Z22+500X23+500Y23+500Z23+600X31+600Y31+600Z31+300X32+300Y32+300Z32+200X33+ 200Y33+200Z33+200X41+200Y41+200Z41+500X42+500Y42+500Z42+MX43+MY43+MZ43+MX52+MY52+MZ52+400X53+400Y53+400Z53+500X61+500Y61+500Z61+300X62+300Y62+300Z62
Sujeto a
X11+X21+X31+X41+X51+X61+Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61+Z11+Z21+Z31+Z41+Z51+Z61≤900
X12+X22+X32+X42+X52+X62+Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Z12+Z22+Z32+Z42+Z52+Z62≤1100
X13+X23+X33+X43+X53+X63+Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63+Z13+Z23+Z33+Z43+Z53+Z63≤1000
X11+X12+X13=144
Y11+Y12+Y13=171
Z11+Z12+Z13=135
X21+X22+X23=222
Y21+Y22+Y23=168...