asignacion1

Matemática
IV.

CICLO II

2011
Introducción
a las
Ecuaciones
Diferenciales.

Recopilación por Oscar Díaz

Universidad de El Salvador, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Unidad de Ciencias Básicas.

CLASE 1

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA.
Introducción.
Esta unidad está destinada a proporcionar al lector una visión preliminar de los distintos tipos de
ecuacionesdiferenciales ordinarias, y a introducirle en la terminología básica. La clasificación
presentada le permitirá situar la asignatura en un contexto general y en el futuro le servirá como un
punto de referencia.

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.

U

2

na ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas se

dx
 x 2  t 2 incluye tanto la función
dt
dxdesconocida x  t  como su primera derivada x  t  
. De la misma manera la ecuación
dt
d2y
dy
 3  7 y  0 incluye la función desconocida y y sus dos primeras derivadas y y y .
2
dx
dx
llama ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación

En resumen, al resolver una ecuación diferencial nos enfrentamos al problema de determinar
funciones desconocidas y    x  de tal manera quereduzcan la ecuación diferencial a una
identidad en algún intervalo de números reales. Así, para la ecuación

d2y
dy
 3  7 y  0 la
2
dx
dx

pregunta es ¿cuál es la función y    x  tal que su segunda derivada mas tres veces su
primera derivada mas siete veces ella misma nos dé un resultado de cero?

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Las ecuaciones diferenciales laspodemos clasificar de acuerdo al tipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO. Según este criterio, podemos clasificar las ecuaciones de
dos maneras
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Si la ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más
variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces la
clasificamos como ecuacióndiferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo

5

dy
 y  cos x,
dx

d2y
dy
 6  2 y  0,
2
dx
dx

dx dy

 x  3y
dt dt

Son todas ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
2.

Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
Si la ecuación diferencial involucra las derivadas parciales de una o más variables
dependientes con respecto a dos o más variables independientes,entonces la
clasificamos como ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo
Nota: en este curso estudiaremos únicamente las EDO.

 2u  2u

 0.
x 2 y 2

Universidad de El Salvador, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Unidad de Ciencias Básicas.

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN.
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) representa el orden de la derivada
4

d2y
 dy
más alta presente en la ecuación. Por ejemplo la ecuación
 3    4 y  2e x es una
2
dx
 dx 
EDO de segundo orden.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD.
Según este criterio, podemos clasificar una ecuación diferencial como lineal o no lineal.
1. Ecuaciones diferenciales lineales
Una EDO de n-ésimo orden es lineal si puede ser escrita de la siguiente manera

an  x 

Por ejemplo3

dny
d n 1 y
dy
 an 1  x  n 1    a1  x   a0  x  y  g  x  (1)
n
dx
dx
dx

d3y
d2y
dy
 4 x 2  x  2 y  e x es una EDO lineal de tercer orden
3
dx
dx
dx

(EDOL). De este tipo de ecuaciones nos interesan de manera especial las de primero y
segundo orden que tomarán las siguientes formas respectivamente.

a1  x 

dy
dy
 a0  x  y  g  x  porejemplo
 20 y  24
dx
dt

a2  x 

d2y
dy
 a1  x   a0  x  y  g  x  por ejemplo y  6 y  13 y  0
2
dx
dx

Note que para la ecuación (1)


La potencia de la variable dependiente ( y en este caso) así como todas sus
n
derivadas y, y, , y   es 1.



Los coeficientes a0 , a1 , , an que acompañan a las derivadas dependen a lo



sumo de la variable...