Asintota

Asíntota

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Asíntota
En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima
continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las
dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima
continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento
asintótico.

Gráfica de dos hipérbolasy sus asíntotas en el
plano cartesiano.

Historia y significado
La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta
asintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος —asýmptōtos—
“aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo
(= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que
«cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definición
de asíntota a una curva, el que «no se encuentrannunca».
Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de
Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas,
para referirse a una recta que no interseca a una rama de
[1]
una hipérbola.
En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una
eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre
funciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojas
de hipérbola o deparábola, etc. Es en este sentido que se
habla de «recta asintótica» como tangente al infinito de una
rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.
Su estudio más profundo desborda el mero campo de
aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas
planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo
infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y
«tiende a cero» se formalizan(netamente con el concepto de
límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.

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Gráfica de asíntotas
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento
a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión
analítica dependerá de la eleccióndel sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión
analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o
bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes decoordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas
cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
• Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
• Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.Nota: cte=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

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Determinación analítica de asíntotas
En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no
triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división
por cero o las formas indeterminadas), aportan informaciónvaliosa sobre su
gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como
«soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una función
puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o
viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito
(o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento
asintótico.Comportamiento asintótico entre una
curva y una recta.

Cálculo de asíntotas por medio de límites
•

Asíntota vertical

Se llama Asíntota Vertical de una rama de una
curva y = f(x), a la recta paralela al eje y que hace
que la rama de dicha función tienda a infinito. Si
existe alguno de estos dos límites:

•

Asíntota horizontal

•

Se llama Asíntota Horizontal de una rama de
una curva y = f(x) a la recta...