Asintota

Asíntota


Curva: en rojo.
Asíntota: línea punteada en azul.
En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamientoasintótico.
Contenido
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1 Historia y significado
2 Gráfica de asíntotas
3 Determinación analítica de asíntotas
3.1 Cálculo de asíntotas por medio de límites
3.2 Asíntotas de funciones racionales
4 Asíntotas de curvas polares
4.1 Recta asintótica
4.2 Círculo asintótico
5 Ejemplos
5.1 Funciones racionales
5.2 Funciones trascendentes
5.3 Curvas polares
5.4 Curvas asintóticas
5.5 Superficies yestructuras
6 Véase también
7 Notas y referencias
8 Bibliografía
9 Enlaces externos

[editar]Historia y significado
La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta asintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— “aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definición deasíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca».1 Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.2
En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes defunciones: segmentos de rectas, hojas de hipérbolas, etc. Es en este sentido que se habla de recta asintótica como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.
Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende ainfinito» y «tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.
[editar]Gráfica de asíntotas
Véase también: Gráfica de una función
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente lade una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una líneapunteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
Asíntotas verticales: rectas perpendiculares eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
Asíntotas oblicuas: si no son paralelas operpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
(Nota: cte=constante).

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.


Comportamiento asintótico entre una curva y una recta.

[editar]Determinación analítica de asíntotas
En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías depuntos de «indefinición» (tales como la división por cero o lasformas indeterminadas), aportan información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como «soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en...