Asintotas

1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO:
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.

Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a,b) y sea ( , ) 0 x ∈ a b , se dice que fes continua en " x0 " si lím(f X) = f( Xo). Es decir, si se x-ocumplen tres cosas: 1. f (Xo). está definida. 2. .lim f(X)= L (existe); y x-o 3. L= f(Xo) Caso contrario, se dice que f esdiscontinua en “Xo” |

Gráficamente el que una función f(x) sea continua en un punto Xo, significa queno se rompe su grafica en el punto (Xo, f(Xo)),

Intuitivamente la continuidad de f(x) en Xo quiere decir que variaciones pequeñas de la variable X cuando esta próxima a Xo le corresponde variaciones pequeñas de f(X)

EJEMPLO:
Una función continua en un punto Xo

3. TIPOS DE DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCION

Si F no es continua en un punto Xo se dice que es discontinua en dicho puntoesto puede producirse por varias causas dando lugar a distintos tipos de discontinuidades que se encuentran a continuación:

-Discontinuidad evitable: Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.
Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la funciónevaluada en a es d, la función es discontinua en a.

Si la función tiene por límite cuando tiende a a, pero no existe en ese punto, la función es discontinua en a.

Sabiendo que una función es continua en un punto, cuando tiene límites en ese punto, y el valor del limite es el mismo que el valor de la función en ese punto, las dos discontinuidades anteriores se pueden evitar asignando a lafunción, en el punto de discontinuidad, el valor del limite en ese punto.

Discontinuidad esencial o no evitable
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:
Discontinuidad de primera especie: si los limites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.

Discontinuidad de segunda especie: si la funcion, almenos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite.

Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Si la funcióntiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito:

De salto infinito
Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derechainfinito:

Así podemos ver los casos:



Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existenalguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto


CASO DE CONTINUIDAD:
Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los límites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.

CONTINUIDAD LATERAL:

Una función a pesar de ser...