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Derivada de logaritmo
La derivada del logaritmo neperiano de x es igual al reciproco de x .
En simbolos, si y= ln x

y1=1x
El incremento ∆y de la función es igual a la función incrementadaen ∆r menos la función sin incrementar:

∆y=ln(x + ∆x )-lnx=lnx+ ∆rx=ln⁡(1+ ∆rx)
El cociente incremental será multiplicado y dividiendo por x

∆y∆x =1∆xln( 1+ ∆xx )=x∆x . 1x ln ( 1+ ∆rx )=1x ln 1+ ∆rx
Si hacemos ∆xx=t cuando ∆x → 0 , también t → 0 .Además será x∆x = 1t
Consideraremos valores positivos de x , pues solo para ellos esta definida la función logarítmica.El limite del cociente incremental será .
lim∆x→0 ∆y∆x = limt→0 1x .ln⁡(1+t)1t = 1x . limln 1+lt→01t

Tratándose del logaritmo de una función continua , el limite buscado será ellogaritmo del limite , y como es.
limt→0(1+t)1t =e ,
De acuerdo a lo visto en pagina 125 , resulta entonces.
y1= 1x .lne= 1xLa derivada del logaritmo en base a de x es igual al reciproco de x multiplicado por el logaritmo en base a del numero e.
En efecto por ser y= logae=lnx . logae , siendo logae una constante , setiene de acuerdo con la regla VI,
y1=D(lnx). logae=1x . logae.

En particular la derivada del logaritmo decimal de x es igual al recíproco de x el logaritmo decimal de e.como es log10e=M=0.43429…, resulta y1=MX.


Derivada de y=sinx
La derivada de la función sen=x es lafunción cosx.
En simbolos , si y=sen x
Es y´=cos x

En efecto , el cociente incremental es ∆y∆x= sen x+ ∆r- sen x∆x .
El numerador puede transformarse en unproducto de acuerdo a las formulas trigonométricas del apéndice , con lo que resulta.

∆y∆x=2 sen 12 ∆xcos(x+ 12∆x)∆x=sen 12∆x12∆x .cos ( x+ 12∆x)

Si ahora se hace tender ∆x a o , el cociente...