Asociacion Entre 2 Variables

Cap´ ıtulo 6 ´ ASOCIACION ENTRE DOS VARIABLES
6.1. ´ INTRODUCCION

Generalmente un problema estad´ ıstico envolucra m´s de una variables. En una encuesta de a opini´n para un estudio de mercado o pol´ o ıtica se hacen varias preguntas cuyas respuestas son interesantes de relacionar. Por ejemplo, se interroga a los votantes no solamente sobre su candidato preferido, sino que tambi´n su edad,g´nero, profesi´n, etc... El an´lisis de tal e e o a encuesta permitir´ eventualmente determinar el perfil del electorado de un candidato, lo que a orienta´ su campa˜a electoral. El psic´logo querr´ comparar las aptitudes mentales (CI) y el a n o a rendimiento escalar de un grupo de estudiantes. Estos problemas llaman a medir y describir relaciones entre variables. Una asociaci´n entre variablesexpresa el grado de influencia que puede tener una variable o sobre otra. Los ´ ındices que se pueden definir dependen del tipo de relaci´n que se estudia y de o la naturaleza de las variables consideradas. Se presentan en primer lugar ´ ındices descriptivos de asociaci´n y en seguida se hacen inferencia sobre estos coeficientes. o

6.2.

´ EL COEFICIENTE DE CORRELACION

Si se consideran dosvariables X e Y cuantitativas y mediciones sobre un conjunto de individuos P, con valores en I ´ un intervalo de I una simple representaci´n gr´fica en I 2 con Ro R, o a R un gr´fico de dispersi´n permitir´ detectar la existencia y la forma de una eventual relaci´n a o a o entre las dos variables. El coeficiente de correlaci´n lineal es el ´ o ındice de asociaci´n m´s o a usual entre dos variablesnum´ricas. Una inspecci´n del gr´fico de dispersi´n es necesaria e o a o para asegurarse de que la interpretaci´n es correcta. o Sea {(xi , yi )|i = 1, ..., n} una muestra aleatoria bivariada del par (X, Y ) de variables. Se 1 1 ¯ ıricas respectivas de x=(x1 , x2 , ...xn ) e denotan x = n xi y y = n yi a las medias emp´ ¯ 1 1 2 2 2 ¯ ¯ ıricas respectivas y=(y1 , y2 , ...yn ), y sx = n (xi − x) y sy = n (yi −y )2 a las varianzas emp´ de x e y.

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´ CAP´ ITULO 6. ASOCIACION ENTRE DOS VARIABLES

Definici´n 6.2.1 Se llama covarianza emp´rica entre X e Y a: o ı cov(x, y) = 1 n ¯ ¯ (xi − x)(yi − y )

Como la covarianza es sensible a los cambios de escala de las dos variables, se elimina este o efecto con el coeficiente de correlaci´n lineal, que toma en cuenta de las varianzas s2 de los x 2valores x y sy de y. Definici´n 6.2.2 Se llama correlaci´n lineal entre x e y a la cantidad: o o rx,y = cov(x, y) = sx sy (xi − x)(yi − y ) ¯ ¯ ¯ (xi − x)2 ¯ (yi − y )2

Este coeficiente, que toma como valores extremos +1 y −1, mide el grado de relaci´n de tipo o lineal que existe entre x e y. rx,y = −1 −1 < rx,y < 0 rx,y = 0 0 < rx,y < +1 rx,y = +1 relaci´n estrictamente lineal de pendiente negativa otendencia lineal negativa ausencia de tendencia lineal tendencia lineal positiva relaci´n estrictamente lineal de pendiente positiva o

La tendencia lineal aumenta cuando rx,y tiende a ±1 (ver gr´ficos 6.1). Pero cuando rx,y = a ±1, hay muchos casos diferentes que pueden producir el mismo valor del coeficiente rx,y . De aqu´ la importancia de tener cuidado en la interpretaci´n de un coeficiente decorrelaci´n por ı o o que un dato at´ ıpico ´ aberrante, una mezcla de poblaciones, una relaci´n no lineal pueden o o cambiar totalmente el valor del coeficiente (ver gr´ficos 6.2). a Cuando se estudia en conjunto m´s de dos variables, se presentan los coeficientes de cora o relaci´n relativos en una matriz cuyo termino general rij es el coeficiente de correlaci´n lineal o de las variables i y j. Lamatriz de correlaci´n asociada a los datos de 6 variables recoleco tados sobre 20 pa´ de Am´rica Latina (tabla 6.1), se presentan en la tabla 6.2. Ac´, el ıses e a coeficiente de correlaci´n entre la tasa de natalidad y la fecundidad es igual a 0,972. o Si se quiere estudiar otro tipo de relaci´n, se tiene dos alternativas: o Dada una funci´n f de X, calcular el coeficiente de correlaci´n entre...