assasdas

4.4.2 Extremos absolutos
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría
de extremos de una función; aunque tiene una fácil interpretación geométrica,exige para su
demostración elementos de cálculo avanzado que están mas allá del alcance de esta guía.
TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS)
Toda función contínua en un intervalo cerrado tieneextremos absolutos (mínimo absoluto
y máximo absoluto).
El estudiante puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una
función que sea continua en [a, b] y que no poseaextremos absolutos en [a, b]. Cada
intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se
cumple.
Observación:
El teorema garantiza la existencia de extremosabsolutos para una función contínua en un
intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un
extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene quepresentar en
los extremos a o b del intervalo.
Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función
continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:
1. Sedeterminan los puntos críticos
donde

'

f (x)

2. Se calcula

c1, c2, c3, ...,cn

(resolviendo

f '(x) = 0 ,

o

no existe).

f (a )

y

f (b ) .

{ f ( a ), f ( b ), f ( c1 ), f ( c 2 ),...,
= mín { f ( a ), f ( b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),...,

3. Máximo absoluto de f = máx
Mínimo absoluto de f

f ( c n )}

f ( c n )}

Ejemplo 1.

Determine, si existen losextremos absolutos
f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 16 en el intervalo [− 3,2]
Solución:

(máx. y mín.)

de la función:

Como f es contínua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimoabsoluto está
garantizada por el teorema 2. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada en la
observación del mismo teorema.
Considere los puntos críticos por medio de la derivada.
f ' ( x) =...