Assd

Universidad de la Frontera
´ Departamento de Matematica

´ Facultad de Ingenier´a, Ciencias y Admistracion ı

´ Formulario Calculo Multivariable (IME186)
1. Producto escalar Sean a = (a1, a2, · · · , an), b = (b1, b2, · · · , bn). El producto escalar de los vectores a y b es el numero ´ a ◦ b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn 1. a ◦ a = ||a||2 2. a ◦ b = ||a|| ||b|| cosθ 2. Producto vectorial Elproducto vectorial o cruz de los vectores a y b es: i a × b = a1 b1 1. a × b = −b × a 2. a × b perpendicular a a y b 3. ||a × b|| = ||a|| ||b|| sen θ j a2 b2 k a3 = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) b3 4. a × b = 0 ⇐⇒ a b 5. ||a × b|| = ||a|| ||b|| ⇐⇒ a⊥b ´ ´ 6. ||a × b|| = area del paralelogramo 3. Triple producto escalar Para tres vectores a, b y c del espacio, su ”triple productoescalar” (T.P.E) viene dado por a1 a ◦ ( b × c ) = b1 c1 1. a ◦ ( b × c ) = 0 los vectores son coplanarios 2. |a ◦ ( b × c )| = volumen de la caja a2 b2 c2 a3 b3 c3 ´ La ecuacion general del plano tiene la forma: ax + by + cz + d = 0 ´ Para conocer su ecuacion se necesita conocer un punto P0(x0, y0, z0) del plano y un vector ´ normal al plano n = (n1, n2, n3). Su ecuacion se halla resolviendo (x − x0, y −y0, z − z0) · n = 0 Distancia punto plano: Sea P punto en el plano, n el vector normal y Q el punto exterior al plano || P Q ◦ n|| d= ||n|| Distancia punto recta: Sea P punto en la recta, d el vector director y A el punto exterior a la recta ||d × P A || ||d||
−→ −→

3. Alternativa III: Dadas dos rectas se consideran el vector director y un punto en cada recta. {d = (d1, d2, d3), se forman lasmatrices M= se tiene lo siguiente: ´ rango de M rango de M ∗ posicion de las rectas 2 3 se cruzan sin cortarse 2 2 secantes 1 2 paralelas 1 1 coincidentes d1 s1 d2 s2 d3 s3 d1 d2 s2 M ∗ =  s1 x1 − x0 y1 − y0  d3  s3 z1 − z0  P (x0, y0, z0)}, {s = (s1, s2, s3), P (x1, y1, z1)}

3. a · b = 0 ⇐⇒ a ⊥ b

7. El plano

´ 4. Proyeccion vectorial ´ Se llama proyeccion vectorial del vector a sobreel vector b = 0 al vector proyb( a ) = a·b ||b||2 b

d=

8. Posiciones de dos planos Para los planos a1x + b1y + c1z = d1 y a2x + b2y + c2z = d2 se tiene: a 1 b 1 c 1 d1 planos coincidentes 1. = = = a 2 b 2 c 2 d2 a 1 b 1 c 1 d1 2. = = = planos paralelos y distintos a 2 b 2 c 2 d2 3. En cualquier otro caso los planos se intersectan en una recta

Se llama componente del vector a a lo largodel vector b al numero ´ compb( a ) = a·b ||b||

´ ´ La componente y la proyeccion se encuentran ligadas por la relacion proyb( a ) = b ||b|| compb( a )

9. Posiciones de recta y plano 5. La recta en el espacio Sean P0 = (x0, y0, z0) punto en la recta y d = (d1, d2, d3) el vector director: ´ 1. ecuacion vectorial X = P0 + td X = (x, y, z) ´ ´ 2. ecuacion parametrica x = x0 + td1, y = y0 + td2,z = z0 + td3 x − a1 y − a2 z − a3 ´ = = 3. ecuacion cartesiana d1 d2 d3 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ´ 4. ecuacion general A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 6. Posiciones de rectas 1. Alternativa I: Si la recta r viene determinada por A(x1, y1, z1) y el vector u = (u1, u2, u3), y ´ la recta s por B(x2, y2, z2) y el vector v = (v1, v2, v3), la posicion relativa de r y s viene dada ´ por la posicion de losvectores u, v y AB u1 u2 u3 Si = = hay dos posibilidades: v1 v2 v3 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a) Rectas coincidentes si = = u1 u2 u3 x2 − x1 y2 − y1 x2 − x1 z2 − z1 b) Rectas paralelas si = o = u1 u2 u1 u3 u1 u2 u3 Si = = hay dos posibilidades: v1 v2 v3 x2 − x1 u1 v1 x2 − x1 u1 a) Rectas secantes y2 − y1 u2 v2 = 0 b) Rectas se cruzan y2 − y1 u2 z2 − z1 u3 v3 z2 − z1 u3 2. Alternativa II: Seconsideran las rectas r≡ A1x + B1y + C1Z + D1 A2x + B2y + C2z + D2 =0 =0 y s≡ A3x + B3y + C3Z + D3 A4x + B4y + C4z + D4 =0 =0 ´ Un cilindro es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen relaciones del tipo f (x, y) = 0, f (x, z) = 0, f (y, z) = 0
−→

Con la recta

A1x + B1y + C1Z = D1 A2x + B2y + C2z = D2 

y el plano mx+ny+pz = q se conforman las matrices  y A1 B1 C1 D1 M ∗ = A2...