Astronomia

LA BELLEZA EN MATEMÁTICAS
Alberto Bagazgoitia (*)
“Señores, esto es completamente cierto, es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo y no sabemos qué significa. Pero lo hemos demostrado, y por lo tanto sabemos que debe ser verdadero”. Benjamin Peirce Se ha repetido muchas veces que la famosa fórmula de Euler es una de las más bellas de la Matemática. Ciertamente reúne en una sencillaexpresión los números más famosos –y las operaciones básicas– y logra unificar conceptos numéricos surgidos en diferentes contextos y que trataban de responder a problemas diferentes. El número p proviene de la geometría, el número e del análisis y el número i del álgebra. Pero cuando hablamos de belleza en matemáticas no estamos hablando de una sensación primaria como la que puede provenir delarte, la pintura, la música o la contemplación de un paisaje natural. Aunque la matemática en su construcción y desarrollo tiene bastante de arte, para poder apreciar la belleza hay que pertenecer al grupo de los iniciados. No, no tiene nada que ver con una secta, pero sí que para poder acceder al disfrute de la belleza matemática es necesaria la comprensión de los conceptos que intervienen. Y cuando,a partir de unos elementos inicialmente dispersos y sin relación, la mente humana es capaz de crear una sinfonía que los armoniza y los muestra como parte de un todo, se nos ofrece ante nuestra vista un paisaje luminoso: la comprensión profunda de los elementos y sus relaciones entre ellos. Así pues, en matemáticas, no es posible belleza sin comprensión. Y en esta fórmula de Euler se mezcla loimaginario y lo real, lo racional y lo irracional, lo algebraico y lo trascendente. Hay que reconocer que la terminología utilizada no sugiere ningún tema científico. ¿De qué estamos hablando?, ¿de matemáticas o de esoterismo?, ¿de la certidumbre más rigurosa o de desvaríos oníricos? Hablamos de números, de un concepto tan elemental, tan primitivo, como el de número. Concepto que surge en losalbores de la historia pero que hasta finales del siglo XIX no es comprendido en su totalidad. Hagamos un breve repaso de la historia de estos números hasta que Euler, en 1748, en su Introductio in analysin infinitorum establece la famosa fórmula. Por cierto, que es también a Euler a quien debemos la terminología empleada: e, i ,p. a) p: La razón del perímetro de la circunferencia al diámetro. b) 0 ylos números enteros. c) i la unidad imaginaria. d) e base del logaritmo neperiano. e) funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Vitoria.

Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa

133

SIGMA 31

Alberto Bagazgoitia

p: LA RAZÓN DEL PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA AL
DIÁMETRO
La historia de p está ligada a la geometría y concretamenteal círculo, la figura perfecta para los griegos. La Grecia antigua fue la primera civilización que se ocupó de las “verdades inútiles” como las definiría Felix Klein, más allá del utilitarismo de otras civilizaciones como la mesopotámica o la egipcia. La aparición de los segmentos inconmensurables –la primera gran crisis en la historia de las matemáticas– hizo que los griegos se inclinaran por lageometría, dejando de lado el álgebra (ya que los números no permitían representar las longitudes de todos los segmentos) y utilizaran para los cálculos un álgebra geométrica(1). Así el problema del cálculo del área de una figura consistía en construir un cuadrado de la misma área: era lo que se llamaba cuadrar la figura. Los griegos sabían cuadrar rectángulos, triángulos y, a partir de aquí,mediante triangulación y aplicación del teorema de Pitágoras, cualquier polígono. El paso siguiente era cuadrar el círculo. También conocían que el área de un círculo era proporcional al cuadrado de su radio, por lo que para cuadrar el círculo bastaría con construir un segmento de longitud igual a lo que ahora conocemos por p(2). Pronto quedó fijado el enunciado de uno de los problemas más famosos...