Aswer

I. REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEÑALES




1.4.2. Series de Fourier

En la ingeniería de las comunicaciones, además de las conocidas señales periódicas seno y
coseno, se emplea una gran cantidad de formas de onda periódicas para simular señales físicas, tales
como señales rectangulares, diente de sierra, señales rectificadas,señales moduladas, etc., que se
pueden representar en el dominio de la frecuencia mediante los métodos que se verán a
continuación.

Si una señal xT(t) es periódica y satisface ciertas condiciones, se puede representar en el
dominio de la frecuencia mediante un número infinito de componentes sinusoidales relacionadasarmónicamente (múltiplos de) con la frecuencia fundamental. La amplitud y la fase relativas de
cada una de estas componentes están especificadas en el desarrollo en serie de Fourier de xT(t).

Definición
Cualquiera señal periódica xT(t), definida en el intervalo (-T/2, T/2), donde T es su período y que satisface las siguientes condiciones suficientes, se puededesarrollar en Serie de Fourier:

1. xT(t) es periódica, es decir, xT (t) = xT (t+ T)

2. xT(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo (-T/2, T/2).

3. xT(t) es de módulo integrable en un período, es decir,
∫

T /2
| xT (t)| dt


Componente Continua (1.30)
T −T/21 T/2
a n =
∫
xT (t ) cos( 2 π nfot)dt (1.31)
T
−T/2
1 T/2
bn =
∫
xT (t )sen( 2 π nfot)dt (1.32)
T
−T/2
Las expresiones (1.30), (1.31) y (1.32), conocidas con el nombre de“Fórmulas de Euler”, son los coeficientes del desarrollo en serie trigonométrica de Fourier de (1.29). La deducción de estas fórmulas está fuera de los objetivos de este texto.
La expresión (1.29) se puede escribir en la forma polar,










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I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEÑALES




∞ b
2 2 n
xT (t)= a o + 2∑ a n + bn cos(2πnfot − arctg ) (1.33)
n=1 a n
2 2 b n
donde podemos definir a n + b n =| X n| y φ n =− arctg (1.34)a n
| Xn | es la Amplitud Relativa de las diferentes componentes de frecuencia, y φn su
correspondiente fase. La expresión (1.33) queda entonces en la forma
∞
xT (t)= a o + 2∑
|
X
n
|cos(
2πnfot + φ n )(1.35)
n=1
En las expresiones anteriores se puede observar lo siguiente:

1. ao es la componente continua o valor promedio de xT(t) y puede ser una magnitud
positiva, negativa o cero.

2. Si xT(t) es real, entonces an y bn son reales. En este caso:(a) Si xT(t) es par, es decir, si xT (t )
∞

= xT (−t ) , entonces b n

= 0 ; |X n | = a n; φ n = 0, y
xT(t)= a o + 2
∑
n= 1
a n cos( 2 π nfot ) (1.36)
El desarrollo de Fourier será una serie de cosenos de la...