Atomo de hidrogeno

Fundamentos de Química Teórica

EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO: UNA SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

M m

µ

∞

sistema real M = masa nuclear

m = masa del electrón

sistema modelo  M · µ = ¸m m+M ¹ 

El átomo de hidrógeno está compuesto por un núcleo y un electrón. La evidencia experimental es que el núcleo y el electrón tienen cada uno su propia masa M y m,respectivamente, y un movimiento independiente aunque se perturban mutuamente. Una representación esquemática es la del sistema real en la figura anterior. La mayor complejidad del átomo de hidrógeno para la aplicación de la ecuación de Schrödinger es la presencia de las dos partículas (el núcleo y el electrón). Por ello es preciso crear un sistema modelo (ver figura) donde se considera un núcleo de masainfinita y el electrón con una masa µ que se conoce como masa reducida. Otra complejidad es que se trata de un sistema tridimensional, pero esta es preciso tenerla en cuenta en todo el desarrollo.

© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.

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Consideraremos un potencial de una partícula cargada demasa µ con respecto a un núcleo de carga opuesta y masa ∞: − Ze 2 V = V ( x, y , z ) = 4πε o x 2 + y 2 + z 2 lo que daría una expresión clásica para la energía total del sistema: 1 2 2 p x + p 2 + p z + V ( x, y , z ) = E y µ Para trabajar en mecánica cuántica reemplazamos las magnitudes dinámicas px, py, pz y E por sus operadores diferenciales y queda la ecuación de operadores: 2  ∂2 ∂ ∂2 ∂2  − + 2 + 2  + V ( x , y , z ) = i 2 µ  ∂x 2 ∂y ∂t ∂z    Obsérvese que la componente potencial no varía de la forma clásica a la cuántica.

(

)

Usaremos la ecuación de Schrödinger para encontrar la función de onda Ψ ( x, y, z , t ) de este sistema:  2  ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ  ∂Ψ  − + 2 + 2  + V ( x, y, z )Ψ = i 2 µ  ∂x 2 ∂y ∂t ∂z   

2 2 ∂Ψ − ∇ Ψ + VΨ = i  2µ ∂t al aplicar eloperador laplaciano ∇ =
2

∂2 ∂x
2

+

∂2 ∂y
2

+

∂2 ∂z
2

.

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Desarrollo de la solución para el átomo de hidrógeno:
Haciendo una separación de variables inicial, dado que el potencial no depende del tiempo:
Ψ ( x, y, z , t ) = ψ' ( x, y, z )e
− iEt 

entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el átomo de hidrógeno queda como:

2 2 − ∇ ψ ' ( x, y, z ) + V ( x, y, z )ψ ' ( x, y, z ) = Eψ ' ( x, y, z ) 2µ

Para la solución de esta ecuación diferencial el preciso separar las variables de las tres dimensiones, en tres ecuaciones de una sola variable. Ello se logra con coordenadas esféricasmediante una transformación lineal tal que x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cosθ y por tanto ˆ Oψ ' ( x, y, z ) = ψ (r ,θ , φ ) donde el valor propio del operador de transformación es evidentemente unitario.
Así se simplifica sobre todo al potencial, pues solo depende de la distancia al núcleo (coordenada r): − Ze 2 V = V (r ) = 4πε 0 r

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El laplaciano en coordenadas esféricas queda:  ∂2  1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂  ∂  2 ∇ ≡ 2 r  + 2 2  2 + 2  sin θ  ∂r  ∂r φθ r sin θ  ∂φ  ∂θ  ∂θ  rφ r   rθ r sin θ

Finalmente, la ecuación de Schrödinger en términos de coordenadas esféricas queda, en forma general:

2 2 − ∇ ψ (r ,θ , φ ) +V (r )ψ (r ,θ , φ ) = Eψ (r ,θ , φ ) 2µ
con una función de onda que debe ser separable o factorable según:

ψ (r ,θ , φ ) = R(r )Θ(θ )Φ(φ )
para lograr una solución viable. La ecuación expandida queda como:  ∂2  ∂  ∂   2  1 ∂  2 ∂  1   + 1 −  r  +  sin θ   RΘΦ ∂θ  rφ  2µ  r 2 ∂r  ∂r φθ r 2 sin 2 θ  ∂φ 2  r 2 sin θ ∂θ    rθ   + V (r )RΘΦ = ERΘΦ Ejecutando las...