Atomo

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 1, 2006

CAOS EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO BIDIMENSIONAL INMERSO EN UN
CAMPO MAGNÉTICO
Robert P. Salazar ♦
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Grupo de estudio de desarrollo de software y física teórica
(Recibido 27 de Sep.2005; Aceptado 08 de Feb.2006; Publicado 28 de Abr. 2006)
RESUMEN
Éste artículo se dirige hacia la identificación delcaos en el átomo de hidrógeno inmerso en un
campo magnético, uniforme y no estacionario. Se solucionó el problema clásicamente usando el
método de Runge-Kutta de cuarto orden, se calculó los exponentes de Lyapunov, y se construyeron las secciones de Poincaré, mostrando la existencia del caos en el sistema. Finalmente se obtuvieron los niveles de energía y los estados propios del sistema para elcaso autónomo, usando la
aproximación WKB.
Palabras claves: caos, átomo de hidrógeno, WKB.

ABSTRACT
In this paper efforts are aimed at identifying chaos in a simple system, the hydrogen atom immersed within a non-stationary and uniform magnetic field. The classical problem was solved with
the fourth order Runge-Kutta method, the Lyapunov exponents were computed, and the Poincaré
sectionswere built, determining chaos in the system. Finally, the energy levels and the Eigen states in the autonomous case were obtained, using the WKB approximation.
Keywords: chaos, hydrogen atom, WKB.

1. INTRODUCCIÓN
La teoría del caos y la mecánica cuántica nacen de problemas no resueltos en la física
clásica, el problema de los tres cuerpos y la radiación del cuerpo negro, de la primera sereconoce que inicia en la década de 1890 con Henri Poincaré, mientras la mecánica cuántica hace su
primera aparición en l900 con Planck. Empero las dos teorías, que datan de algo más de una
centuria, y que muestran la imposibilidad de predecir rigurosamente el comportamiento de la
naturaleza, tienen grandes diferencias, debido a que la teoría del caos aún yace en gran medida
bajo la físicaclásica, mientras la mecánica cuántica es una teoría nueva. En la actualidad se
duda acerca de la existencia del caos cuántico, y si la respuesta apuntara a la imposibilidad de
encontrarle (aspecto que se evidencia con la linealidad de la ecuación de Schrödinger), entonces
cabría otra pregunta, ¿cómo es posible la inexistencia de caos cuántico, siendo la física cuántica
la que subyace en elcomportamiento de los sistemas macroscópicos, los cuáles a su ves pueden
ser caóticos?

♦

email: rob3rtsalazar@yahoo.com
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REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 1. 2006

2. HAMILTONIANO CLÁSICO Y ECUACIONES CANÓNICAS.

El sistema consiste en un átomo de hidrógeno inmerso en un campo magnético B (t ) , el cuál es
uniforme, pero no estacionario como muestra la Figura No1. El campomagnético que se aplica-

ˆ
rá variará armónicamente con el tiempo a lo largo del eje z, B (t ) = Bo sin(ωt ) k así el hamiltoniano para éste sistema queda de la forma:
2
⎞
eBo sin(ωt ) pφ [eBo sin(ωt )r ]2
1 ⎛ 2 pφ
e2
1
2
⎜ pr +
+
+
H=
+ pz ⎟ −
⎟ 4πε o r 2 + z 2
2m ⎜
r2
2m
8m
⎠
⎝
B
y

Protón

x
Figura No.1. Sistema

Electrón

(1)

La no dependencia explicita delhamiltoniano con φ
implica la conservación del momento conjugado pφ
que a su ves es igual al momento angular en z, Lz .
Además se infiere que si se establece z = 0 ∧ p z = 0
cuando t=0, se reduce el problema al caso bidimensional, haciendo que el electrón habite el plano z=0,
debido a que la fuerza radial ejercida por el protón
sobre el electrón y la fuerza del campo magnético, se
encuentrancontenidas también en el plano z=0. Bajo
las consideraciones anteriores el hamiltoniano (en

unidades atómicas) es:

⎛ 2 L2⎞ 1
[rγ sin(ζ )]2
H(r, pr ,ζ ) = ⎜ pr + z2 ⎟ − + Lzγ sin( ) +
ζ
⎜
8
r⎟r
⎝
⎠
22
Bo
ζ ≡ ω t y γ ≡ (4πε2) 3 Bo =
Donde se definió:
2.349 ×105 T
me

(2)

3. SECCIONES DE POINCARÉ Y EXPONENTES DE LYAPUNOV
La solución fue obtenida por medio del método de...