Atractor De Lorenz Y Rossler

Centro de Estudios en Fisica y Matematicas Basicas y Aplicadas
Atractor de Lorenz y ¨ Rossler
´ Benjamin Arebalo Ortiz ın
´ Gerardo Jesus Escalera Santos ´
Analisis no Lineal
15 de Marzo del 2012

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1.
1.1.

ATRACTOR
Introducci´n o

Una manera de visualizar el movimiento ca´tico, o cualquier tipo de o movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama eltiempo est´ impl´ a ıcito y cada eje representa una dimensi´n del estado. Por o ejemplo, un sistema en reposo ser´ dibujado como un punto, y un sistema a en movimiento peri´dico ser´ dibujado como un c´ o a ırculo. Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ´sta es errabunda alree dedor de alg´n movimiento bien definido.Cuando esto sucede se dice que u el sistema es atra´ hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un ıdo atractor. De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como peri´dicos, cuasi-peri´dicos y extra˜os. Estos o o n nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor peri´dico, por ejemplo,puede guiar el movio miento de un p´ndulo en oscilaciones peri´dicas; sin embargo, el p´ndulo e o e seguir´ trayectorias err´ticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros a a factores menores no considerados.

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1.2.

Definici´n o

Los sistemas din´micos suelen ser definidos en t´rminos de ecuaciones a e diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para unper´ ıodo breve. Para determinar el comportamiento del sistema para per´ ıodos m´s largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea anal´ a ıticamente o por m´todos num´ricos (iteraci´n), para lo que se ha hecho imprese e o cindible la ayuda de los ordenadores. Los sistemas din´micos procedentes de aplicaciones f´ a ısicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa elmovimiento cesar´ ıa. La disipaci´n puede proceder de fricci´n interna, p´rdidas termodin´micas o o e a o p´rdida de material, entre otras causas. La disipaci´n y la fuerza externa e o tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento t´ ıpico. La parte del espacio de fases del sistema din´mico que corresponde al comportamiento t´ a ıpico es elATRACTOR.

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2.
2.1.

Atractor de Lorenz
Definici´n o

El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema din´mico det´rministico(es decir que todo esta estrictamente a e determinado incluyendo el estado futuro del sistema), tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convecci´n que se o producen en las ecuacionesdin´micas de la atm´sfera terrestre. a o Para ciertos valores de los par´metros el sistema exhibe un comprtaa miento ca´tico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extra˜o; o n esto fue probado por W. Tucker en 2001. El atractor extra˜o en este can so es un fractal (Un fractal es un objeto semigeom´trico cuya estructura e b´sica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas) dedimensi´n a o de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensi´n de o Hausdorff en (2,06) ± (0,01) y la dimensi´n de correlaci´n en 2,05 ± 0,01. o o Las ecuaciones del oscilador de Lorenz son: dx = a(y − x) dt dy = x(b − z) − y dt dz = xy − cz dt donde a es llamado el N´mero de Prandtl y b se llama el n´mero de u u Rayleigh. 8 a, b, c, > 0 pero es usualmente a = 10, c = , y b esvariado. El sistema 3 muestra un comportamiento ca´tico pero muestra ´rbitas peri´dicas para o o o otros valores de b; por ejemplo, se convierte en un nudo t´rico llamado o T(3,2).Ver figura m´s abajo. a La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la Teor´ del Caos. ıa

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El Atractor de Lorenz no es una estructura geom´trica simple pues e...