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Matrices y determinantes

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Ejemplo
• ¿Cuál es el tamaño de las siguientes
matrices?
• ¿Cuál es el elemento a21, b23, c42?

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Tipos de matrices
•
•
•
•
•
•
•

Matriz renglón o vector renglón
Matriz columna o vector columna
Matriz nula
Matriz vertical
Matriz horizontal
Matriz negativa de A u opuesta de A
Matriz cuadrada
– Diagonal principal
– Diagonal secundaria• ¿Qué tipo de matrices son las siguientes?

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• Matrices cuadradas
– Matriz triangular superior
– Matriz triangular inferior
– Matriz diagonal
– Matriz identidad

• ¿Qué tipo de matrices son las siguientes?

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Suma de matrices
• suma o resta de matrices (de las mismas dimensiones)
es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra
matriz de las mismas dimensiones cuyoselementos se
obtienen sumando o restando término a término los
elementos correspondientes en dichas matrices.

•

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre
sí

Propiedades de la suma y resta
• Conmutativa: A + B = B + A
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: La matriz nula del
tamaño correspondiente.
• Elemento opuesto de A: La matriz-A, que
resulta de cambiar de signo a los
elementos de A.

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Ejemplo 1.
• Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A,
B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen
dadas por las matrices:

• Calcula y expresa en forma de matriz el total de
exportaciones para el conjunto de los dos años.
• ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?
• Calcula elincremento de las exportaciones del año 2000
al 2001 con los datos del ejemplo anterior.

Ejemplo 2
• Calcula x, y, z en la suma:

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Ejemplo 3
• Calcula a, b, c para que se cumpla la
igualdad:

Multiplicación por un escalar
• Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el
producto k·A se realiza multiplicando todos los
elementos de A por k, resultando otra matriz de igualtamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir
una matriz por un numero real).

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Propiedades de la multiplicación
por un escalar
• Distributiva respecto de la suma de
matrices: k·(A + B) = k·A + k·B
• Distributiva respecto de la suma de
números: (k + d)·A= k·A + d·A
• Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A
• Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

Ejemplos

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Matriz transpuesta
•La transpuesta de una matriz A de m x n , es la
matriz de n x m que se obtiene al intercambiar
los renglones por las columnas y se denota por AT

Propiedades

Matriz simétrica:

A = At

Matriz antisimétrica

A = − At

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Ejercicios
• Verificar que la matriz A es simétrica

• Verificar que la matriz B es antisimétrica

Ejercicios

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problemas
• Algebra lineal, StanleyI. Grossman, 5ª.
Edición. Mc.GrawHill
– Problemas 1.5 (Pág. 56): I-VI
– Problemas 31, 39, 44 y 45 (Pág. 57).

Multiplicación de matrices
Para multiplicar dos matrices A y B, en este
orden, A·B , es condición indispensable que el
número de columnas de A sea igual al número
de filas de B

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Multiplicación de matrices
• Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si Aes
una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces el producto A·B
da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente
modo:
• “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz
C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la
columna j de B y sumando los resultados”

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Matriz inversa
• Dada una matriz cuadrada de orden n,cualquiera, existe
su inversa X, para el producto de matrices, tal que:

A. X = I n
• Se dice que A es invertible si existe otra matriz del
mismo orden, denominada matriz inversa de A y
denotada por A y tal que

A. A−1 = I n

A−1. A = I n

• Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no
invertible.

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Método Gauss-Jordan
• Consiste en hacer transformaciones elementales en...