autobiografia

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados,un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)

Casos[editar • editar código]
Podrán presentarse 3 casos:
Primer caso[editar • editar código]
rcorta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || AC,secante AB
por ser correspondientes entre r || AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta intersecaal lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:

De yse obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
Segundo caso[editar • editar código]
r corta a las rectas de los lados AB y BC porpuntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:por carácter simétrico.


















Tercer caso[editar • editar código]
r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a lasque sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la rectade BC por O.
Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice....