Autocorrelacion

1

Funci´n de Autocorrelaci´n o o

Antes de definir la correlaci´n entre funciones, vale la pena recordar, nuevamente, o la definici´n del producto interno entre funciones complejas: o  ∞ ∗  ψ ( t ) ψn ( t ) dt para se˜ales energia, n   −∞ m ψm ( t ) , ψ n ( t ) = ∞  1 ∗   para se˜ales potencia, n ψm ( t ) ψn ( t ) dt T −∞ ∀ m, n = 1, 2, 3, . . .

Como sabemos, el producto internoentre funciones nos da un promedio del comportamiento relativo de una se˜al con otra. n

Como se coment´ al inicio de nuestro curso, el producto interno es una herramienta o muy valiosa en la representaci´n de se˜ales. En general, el producto interno entre o n funciones puede tomar valores dentro del intervalo determinado por la desigualdad de Swarchz; esto es, 0
son ortogonales

≤ | v (t),ω (t)| ≤
caso intermedio

|v| |ω|
son proporcionales

Como nos indica la desigualdad de Swarchz, un caso extremo resulta cuando dos se˜ales son ortogonales entre s´ en este caso, el producto interno resultante es cero n ı, y decimos que es imposible hallar una representaci´n entre las se˜ales involucradas. o n El otro caso extremo resulta cuando las se˜ales involucradas son paralelas y difieren nentre s´ por un factor de proporcionalidad; es decir, v ( t ) = α ω ( t ); por supuesto, ı este caso resulta ´ptimo. o

Si tenemos la posibilidad de conocer las gr´ficas de las funciones involucradas en a el proceso de la evaluaci´n promedio del grado de similitud entre las se˜ales, podeo n mos establecer que dos se˜ales ser´n ortogonales si cumplen con cualquiera de las n a siguientescaracteristicas:

2 • son de simetr´ opuesta, ıa • son disjuntas en el tiempo, • son disjuntas en la frecuencia. En la representaci´n de se˜ales, hay casos en que el producto interno entre funciones o n no nos permite tener una interpretaci´n adecuada del grado de similitud promedio o entre dos se˜ales. Por ejemplo, consideremos el caso que se muestra en la figura 1. n

Figura 1: Se˜ales Disjuntas en elTiempo n

Evidentemente, al intentar obtener una medida de la similitud de la se˜al v ( t ) n con respecto de ω ( t ) a partir de la definici´n del producto interno entre funciones, o obtendremos un resultado err´neo, pues, el resultado ser´ cero, lo cual nos indicar´ o a a que es imposible hallar un grado de similidud promedio entre v ( t ) y ω ( t ). La figura 1, nos indica que v ( t ) esid´ntica a ω ( t ), y difieren unicamente por un e ´ desplazamiento en el tiempo de ω ( t ) con respecto de v ( t ). Para corregir este inconveniente, haremos una modificaci´n en la definici´n matem´tica del producto o o a interno. Ahora, buscaremos encontrar una medida de la similitud de v ( t ) con una

3 versi´n desplazada de ω ( t ) en un tiempo relativo τ ; es decir, o Rvω = v (t),ω (t − τ ) .

Aesta operaci´n matem´tica, se le conoce como funci´n de correlaci´n 1 de v ( t ) o a o o con ω ( t ) y matem´ticamente se difine como: a     v (t),ω (t − τ ) =  1   T

∞ −∞

v ( t ) ω ∗ ( t − τ ) dt v ( t ) ω ∗ ( t − τ ) dt

para se˜ales energia, n para se˜ales potencia, n

∞ −∞

Un caso de inter´s, en el an´lisis de las se˜ales, resulta cuando queremos hallar la e a n correlaci´nde una se˜al con ella misma. A tal operaci´n se le conoce como funci´n o n o o de autocorrelaci´n y se define como: o     v (t),v (t − τ ) =  1   T

∞ −∞

v ( t ) v ∗ ( t − τ ) dt v ( t ) v ∗ ( t − τ ) dt

para se˜ales energia, n para se˜ales potencia, n

∞ −∞

¿Qu´ sentido tiene hallar la correlaci´n de una se˜ al con ella misma? e o n Por el momento, adoptemos la idea de que lafunci´n de autocorrelaci´n nos brinda o o una alternativa adicional de representar una se˜al, tomando como referencia sus n variaciones en un tiempo relativo τ . Adem´s, sus propiedades, como veremos m´s a a adelante, nos permitir´n extrar informaci´n que puede ser de mucho inter´s en el a o e momento de analizar las caracteristicas de una se˜al. Por ejemplo, supongamos que n conocemos la...