Autoev. cap.5 fund. matematicos

Fundamentos de Matem´ticas. Pruebas de Autoevaluaci´n. a o Cap´ ıtulo 5. Formas cuadr´ticas a
1.

R´zonese que en el espacio a la aplicaci´n o es bilineal.

F [0, 1]

de las funciones reales ycontinuas en el intervalo
∫ φ(f, g) =
0 1

[0, 1]

f (x)g(x)dx

2.

Considere en este caso el espacio vectorial P2 = {p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 : ai ∈ R } de polinomios de grado igual omenor a 2 y considere su base natural
A = {p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 }

(i) Para este subespacio pruebe que la forma bilineal φ del ejercicio anterior tambien es una bilineal bineal yencuente la matriz de dicha forma bilineal con respecto a dicha base. (ii) Encuente la matriz de φ con respecto a una nueva base
B = {p0 (x) = x − 1, p1 (x) = x2 , p2 (x) = 2}

3.

Considere la formabilineal en donde los vectores

φ

en

R3

definida como est´n referidos a la base can´nica a o

φ(x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 )

A = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

(i) Se˜ale la matriz asociada con respecto a dicha base. n (ii) Se˜ale la matriz con respecto a una nueva base n
B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, −1, 0)}

4.

Sea

B = {u1, u2 , u3 }

de

R3

y

w : R3 → R (

una forma cuadr´tica cuya expresi´n matricial es a o
)   1 2 −1 x1  2 0 1   x2  −1 1 2 x3 

w(v) =

x1 x2 x3

en donde

v = x1 u1 + x2u2 + x3 u3 . φ

a) Encu´ntrese una expresi´n matricial de la forma bilineal e o b) Pru´bese que el espacio e ecuaci´n −6x1 + 2x2 − 11x3 = 0. o
5. E1

de la que procede

w. E2

generado por(2, −5, −2)

es conjugado del espacio

de

Considere la forma bilineal del ejercicio 2 y sea w su forma cuadr´tica asociada . a (i) Encuentre su matriz asociada con respecto de la base A. (ii)Determine una base C de vectores conjugados y la matriz asociada diagonal D asociada a dicha base.. (iii) Determine la base D, obtenida a partir de C , respecto a la cual la matriz asociada a w es...