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INACAP RENCA

Nombre: _________________________

Matemática Aplicada II – EZ0502
Profesor: Aldo Ramírez M.

Guía: Aplicaciones de la Derivada
1. La distancia de un objeto al suelo, medida en metros, como función del tiempo, esta modelada por la
siguiente función:

f (t ) = 15t

Donde t se mide en segundos
a) Calcule la rapidez instantánea a los tres segundos.
b) Calcule la rapidezinstantánea a los diez segundos.

2. El espacio recorrido en metros, de una partícula, se expresa con la función:

f (t ) = t 3 − 9t 2 + 24t
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 4 segundos?
b) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 7 segundos?

3. El espacio recorrido en metros, de una partícula, se expresa con la función:

f (t ) = t 2 −6t + 10
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
b) ¿Cuál es la rapidez instantánea a los 12 segundos?

4. El espacio recorrido en metros, de una partícula, se expresa con la función:

f (t ) = t 3 − 6t 2
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 8 segundos?
b) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 15segundos?
5. Un fabricante de pinturas para autos, advierte que el costo por semana de producir x litros está
dado por C ( x) = 20.000 + 40 x euros y el ingreso por la venta de x litros está dado por

I ( x) = 100 x − 0,01x 2 . Actualmente se producen 3.100 litros por semana. Se está considerando la opción
de producir 3.200 litros.
a) Calcule los incrementos del costo, del ingreso y de lautilidad.
b) Determine expresiones para el costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal.

6. El costo total de producción en dólares, de x unidades diarias de un producto es de
C ( x) = 50 x + 22.000 y el precio de venta de una de ellas es p ( x) = 300 − 0,01x dólares.
a) Calcule el incremento de las utilidades si la producción aumenta de 100 a 120 unidades.
b) ¿Cuál es el ingresomarginal de 100 artículos?
c) ¿Cuál es la utilidad marginal de 120 artículos?
7.

En cada caso, determine los máximos y mínimos relativos de la función dada.
a) f ( x) = x 2 − 4 x − 1
b) f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x

x5 4x3
−
d) f ( x ) =
5
3

c) f ( x) = x − 6 x − 15 x
3

8.

2

Determine los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado.

(

1 2 2
⋅x ⋅ x −2
2b) f ( x) = x ⋅ e x
a) f ( x) =

)

c) f ( x) = 3 x + 8 x − 18 x
4

3

;
;
2

;

[− 2,3]

[0,2]
[− 4,2]

9.
La concentración de un medicamento (en centímetros cúbicos), t horas después de haber sido
inyectado en el brazo de un paciente está dado por:

c(t ) =

0,15 ⋅ t
t 2 + 0,81

a) ¿Cuándo ocurre la máxima concentración?
b) ¿Cuál es la máxima concentración delmedicamento?

x2
U ( x) = x −
800

10.

Considere la función utilidad U (x) , definida por

Donde

x representa el número de artículos producidos y U (x) está en dólares.
a) Determine la utilidad al vender 100 artículos.
b) Determine el número de artículos para que la utilidad sea máxima.

11.

El costo total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de

C ( x) = 2 x +

xunidades es:

299.538
x

a) ¿Qué tamaño de pedido minimiza el costo total?
b) ¿Cuál es el costo total mínimo?
12.

Suponiendo que el porcentaje de alcohol presente en la sangre, t horas después de consumido

está dado por C (t ) = 0,2 t e

−

t
2

.

a) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de alcohol en la sangre?
b) ¿Cuál es el nivel máximo de alcohol en la sangre?
13.

Determinecuáles dos números reales positivos que suman 50 tienen producto máximo.

14.
Una página ha de contener 49 centímetros cuadrados de texto, márgenes de 1 centímetro por
todas partes. ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel?

15.
Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se dobla para formar
un cuadrado y con la otra se forma una...