automatización

Integración
Hasta este momento en el estudio del cálculo, se ha planteado el siguiente tipo de
ejercicios: dada una función, halle su derivada.
Ejemplo 1:

Sin embargo, muchas aplicacionesimportantes del cálculo están relacionadas con el
problema inverso: dada la derivada de una función, halle la función original.
Supongamos que se decide encontrar una
que se sabe de derivadas, esposible afirmar que

función F cuya derivada es f(x)=3x2.

Por lo

F(x) = x3 porque
Entonces la función F buscada es una “antiderivada” o “primitiva” de f(x). Antes de
proseguir resultaimportantísimo plantear la siguiente inquietud:
¿Será la única respuesta?
No, para verificar derive las siguientes funciones:
F1(x) = x3 - 3
F2(x) = x3+100
Nótese que F es una antiderivada de f, en vez de laantiderivada de f.
que F(x) más cualquier constante (número) es la solución del problema.

Se puede concluir

Teorema 1: Representación de antiderivadas o primitivas
Si F es una antiderivada def en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el
intervalo I sí y sólo sí G es de la forma G(x)=F(x)+C, para todo x en I, donde C es una constante.

Ejemplo 2: “Resolución de unaecuación diferencial”
Determinar la solución general de la ecuación diferencial y’=2.
Solución: Para empezar, determinar una función cuya derivada es 2. Una función de esta
característica es
y=2xPara expresar la respuesta definitiva, siempre de debe expresar acorde al teorema 1, es
decir
y=2x+C

Figura 1: Ejemplo generalizado de funciones de la forma y=2x+C

Notación para antiderivadas oprimitivas
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma

Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente:

La operación para determinar todas las soluciones de estaecuación se denomina
antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral
La solución
general se denota mediante
Variable de integración
Constante de integración

y=...