Autovalores Y Autovectores

Autovectores: O vectores propios de un operador lineal son los vectores no nulos (x ≠ 0) que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección.
Las transformaciones lineales del espacio pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitudapuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.

Autovalor: Este escalar λ recibe el nombre valor propio o autovalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectorespropios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que entonces decimos que v es un vector propio deloperador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es unsubespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:
Donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que para todos los escalares a, b, ylos vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna vλ, un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:
Donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia latransformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el autovalor λ y las n componentes de vλ son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposibleescribir la ecuación de autovector en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita. Dependiendo de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de autovalor como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los autovectores reciben a menudo el nombre de autofunciones del operadordiferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)
Considérese la diferenciación con respecto a sus autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de autovalor:

Donde λ es el autovalor asociado con la función. Una función en el tiempo es constante si, crece proporcionalmente a símisma si es positiva, y decrece proporcionalmente a sí misma si es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más frecuencia a medida que hay más conejos, y por tanto satisface la ecuación para lambda positiva.
La solución a la ecuación de valor propio es , la función exponencial; pues esa función es una función propia del operador diferencial d/dt con el valor...