Aux 11 optimiza

IN3701: Modelamiento y Optimizaci´n
o
Profs: Daniel Espinoza, Fernando Ordo˜ez
n
Aux: V. Bucarey, P. Lyon, I. Rios, J. Neme , P. Obrecht

Auxiliar 11: Optimizaci´n Continua
o
Jueves 15 deNoviembre 2012
Problema 1
Para las siguientes funciones, determine si los puntos entregados son m´
ınimos, ya sean locales o globales.Para
esto, utilice las condiciones de primer y segundo ordenvistas en clase.
1. f (x, y) = (x − 2)2 + (y − 5)3 en el punto (x, y)∗ = (2, 5)
√
1
1
2. f (x) = x + x en el punto x∗ = 4 3
2

3. f (x) = x 3 − 5 en el punto x∗ = 0
4. f (x) = x4 − 24x2 en elpunto x∗ = 0

Problema 2
Realice una iteraci´n del M´todo del Gradiente y de Newton para:
o
e
1. m´ f (x, y) = (x − 2)2 + 2x + y 2 − y + 3 en el punto (x, y)0 = (1, 1)
ın
2. m´ f (x) = x4 − 24x2en el punto x0 = 1
ın

Pregunta 3
Dado el siguiente problema:
m´ f (x1 , x2 ) = (x1 − 5)2 + (x2 − 2)2
ın
s.a
g1 (x1 , x2 ) = (x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 ≤ 1
g2 (x1 , x2 ) = x1 + x2 ≥ 3
1.Desarrolle las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para el problema.
2. Revise el cumplimiento de las condiciones de KKT para los siguientes puntos:
(1, 2), (1 −

1
2, 2

+

1
2 ).

‘?Qu´podemos concluir para cada uno de estos puntos? Justifique.
e

3. Muestre las restricciones, el conjunto de soluciones factibles y la funci´n objetivo gr´ficamente.
o
a
4. Determine un candidato paraser soluci´n ´ptima analizando el gr´fico. Verifique si este candidato cumple
o o
a
las condiciones de KKT. D´ la soluci´n ´ptima y el valor de la funci´n objetivo asociado.
e
o o
o
5. Se agregala siguiente restricci´n al problema (P):
o
g3 (x1 , x2 ) = (x1 − 3)2 + (x1 − 2)2 ≤ 1
‘?Qu´ podemos decir acerca de la soluci´n ´ptima del problema original aplicando KKT? Justifique su
e
o orespuesta.
1

Pregunta 4
Se tiene el siguiente problema (P):
m´ f (x1 , x2 ) = x2 + (x2 − 2)2
ın
1
s.a
g1 (x1 , x2 ) = (x2 + x2 ≤ 0
1
g2 (x1 , x2 ) = x2 + (x2 + 1)2 ≤ 1
1
g3 (x1 , x2 ) =...