Avanzado 20

Problemas para la 20a
Olimpiada Mexicana de Matem´aticas
(Problemas Avanzados)

Edici´
on: Carlos Jacob Rubio Barrios
Revisi´
on:

2006

Gabriela Campero Arena

Carlos Jacob Rubio Barrios
Delegado de la Olimpiada de Matem´aticas en Yucat´an.
Facultad de Matem´aticas, Universidad Aut´onoma de Yucat´an.
Gabriela Campero Arena
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico.Contenido

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Presentaci´
on

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Resumen de Resultados
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Resultados de M´
exico en las Internacionales . . . .
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Resultados del Concurso Nacional de la 19 a OMM
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Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Informaci´
on sobre la Olimpiada . . . . . . . . . . .

IV
VII

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. vii
. x
. xii
. xii

1. Enunciados de los Problemas
1.1. Problemas de Pr´actica .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Problemas de los u
´ltimos tres Concursos
Nacionales de la OMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Olimpiadas Internacionales en las que participa M´
exico
2.1. XVII Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico . . . . . . . .
2.2. VII Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y del Caribe
2.3. XX Olimpiada Iberoamericana de Matem´aticas . . . . .2.4. 46a Olimpiada Internacional de Matem´aticas . . . . . .

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3. Soluciones de los Problemas
19
3.1. Soluciones de los Problemas de Pr´actica . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Soluciones de los u
´ltimos tres Concursos
Nacionales de la OMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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Bibliograf´ıa

68

IV

Contenido

Presentaci´
onLa Sociedad Matem´atica Mexicana organiza la 20 a Olimpiada Mexicana de
Matem´aticas. Los ganadores del certamen formar´an las selecciones que participar´an en las distintas olimpiadas internacionales del a˜
no 2007: la XIX Olimpiada
de la Cuenca del Pac´ıfico que se llevar´a a cabo en el mes de marzo en M´exico y los
ex´amenes se corregir´an en Corea; la 48 a Olimpiada Internacional que sellevar´a
a cabo en Vietnam durante el mes de julio, la XXII Olimpiada Iberoamericana
de Matem´aticas que se realizar´a en septiembre en Portugal y la IX Olimpiada
Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe que se celebrar´a en alguno de los
pa´ıses participantes en el mes de julio.
En la 20a Olimpiada Mexicana de Matem´aticas pueden participar los estudiantes
de M´exico nacidos despu´es del 1o de agostode 1987. Los concursantes deber´an
estar inscritos en una instituci´on preuniversitaria durante el primer semestre del
ciclo escolar 2006-2007 y, para el 1 o de julio de 2007, no deber´an haber iniciado
estudios de nivel universitario.
La intenci´on de esta publicaci´on es que sirva como gu´ıa para los alumnos que
desean prepararse para el Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas.Los problemas que aparecen aqu´ı no son ejercicios rutinarios en los
que se apliquen directamente los conocimientos que se adquieren en la escuela,
son problemas que requieren de una buena dosis de ingenio y de esfuerzo para
ser resueltos. Como en todos los aspectos del aprendizaje de las matem´aticas, el
esfuerzo individual y el enfrentamiento solitario con los problemas son importantes, perotambi´en es muy importante la discusi´on con compa˜
neros y profesores.
Una forma de manifestar creatividad en matem´aticas es resolviendo problemas. Otra forma, que requiere de una mayor madurez, es invent´andolos. Invitamos a todos los lectores de este folleto: profesores, estudiantes, ol´ımpicos
y exol´ımpicos a que nos env´ıen problemas con soluci´on al correo electr´onico

VI

Etapas de laOlimpiada

bulajich@servm.fc.uaem.mx . Las aportaciones ser´an consideradas para su inclusi´on en ex´amenes o en futuros folletos.
Este folleto incluye problemas de las olimpiadas estatales de matem´aticas de
Distrito Federal, Morelos, Puebla, Quer´etaro y San Luis Potos´ı. Tambi´en incluye problemas del Encuentro Interestatal de la Zona Centro 2005 (en el que
participaron Distrito Federal, Estado...