Avelar Romero Serie De Fourier

ITESO
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO),
Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090.
Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI).

Series de Fourier
Por: Omar X. Avelar & Diego I. Romero.

OBJETIVO
Estudiar y comprender la serie de Fourier de señales continuas
periódicas.

ENUNCIADO
En esta practica seencontraran los primeros componentes de
las series de Fourier de algunas señales continuas periódicas.
Además, se sumaran estos componentes para observar la convergencia de la serie.

DESARROLLO
Realiza las actividades siguientes.
1. Calcula (teóricamente) los coeficientes de la serie de Fourier
de un pulso cuadrado con frecuencia fundamental de 1KHz, amplitud de 2V y valor promedio cero.
2. Genera estepulso cuadrado en el laboratorio y, vía un filtro
pasabajas, obtén la senoidal correspondiente a su frecuencia
fundamental (primer armónico). Explica cómo escogiste el orden
y la frecuencia de corte de tu filtro. Dibuja (o simula) su respuesta en frecuencia. ¿Tiene la senoidal obtenida la magnitud y fase
que esperabas?
3. Obtén ahora mediante dos filtros pasabanda las senoidales
que corresponden alos dos siguientes
armónicos con coeficientes distintos de cero. Explica nuevamente cómo escogiste el orden y las frecuencias de corte de tus filtros. Dibuja (o simula) sus respuestas en frecuencia. ¿Tienen lassenoidales obtenidas la magnitud y fase que esperabas?
4. Suma las tres señales senoidales y explica si este resultado se
parece a tu señal original.
5. Realiza los pasos 1-4 para una señaltriangular con frecuencia
fundamental de 1KHz, amplitud de 2V y valor promedio cero.
6. Elabora un reporte donde expliques cómo realizaste esta práctica y respondas a las preguntas que en ella se hacen. Agrega
tus comentarios y conclusiones. Cuida redacción y ortografía.

Materia: Señales y Sistemas – Pag. 1 de 9
Guadalajara, Mexico // lun 20 de abril de 2009.

ITESO

Series de Fourier

InstitutoTecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO),
Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090.
Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI).

Por: Omar X. Avelar & Diego I. Romero.

PROCEDIMIENTO TEORICO
Teniendo una señal periódica (Fig. 1), esta puede ser representada como una suma de exponenciales complejas (senos y cosenos) deacuerdo al trabajo hecho principalmente por Joseph Fourier.

simplificando términos

ak =

A
 2 e− j 
jk  o T

o

kT /2

−e− j 

o

kT

−1

ya obteniendo nuestra forma general, entonces podemos pasar
a los parámetros específicos de nuestra señal, que son:
−3

T =1x10 [seg ]

3

 o=2000  =6.283 x10 [rad / seg ]

,

A=2

y
sustituyendo tenemos

1
−j k
− j2  k
2e
−e
−1
jk

ak =

al ser k unnumero entero, entonces el termino
− j2  k

e
Fig. 1: Señal periodica x(t).

por lo tanto

De manera general la transformada de Fourier de esta señal es:

∞

∞

x t ≡a 0∑k =1 a k e jkt =a 0∑k=1 

1 T
x t e− j  kt dt e jkt
∫
0
T

∞

T

y

o

T /2

a PN =∫0

2
− j k
e
−1
jk

la cual puede ser escritura de la siguiente manera por la identidad de Euler

o

∞

acomodando estos términos demanera individual para facilitar
el procedimiento de la integral, nos queda

a PP=∫T / 2 x te − j  kt dt

a0

1 −T / 2
A T T
Adt=  − =0
∫
T
/
2
T
T 2 2

a k =∑k=1 

T /2
A T
∫T /2 x t e− j  kt dt−∫0 x t e− j  kt dt 
T
o

y ahora a obtener

reagrupando en nuestra definición de los coeficientes de la
transformada de Fourier

o

por ser una cuadrada de amplitud A simétrica al ejevertical entonces

ak =

2
−j k
e
−1
jk

ak =
a 0=

=1

a k =∑k=1 

x t e− j  kt dt

2
cos k isin  k −1
jk

o

siendo k un numero entero

i sin k =0

para toda k

y por lo tanto,

a PP=

−1
e− j 
jk  o

a PN =

o

kT

−e− j 

−1
−j
e
jk  o

o

kT / 2

o

kT /2

=

−1=

1
e− j 
jk  o

o

kT /2

−e− j 

o

kT

por lo que se simplifica ahora en nuestra transformada de...