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DESIGUALDADES

Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen
libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales
de problemas aparecen con frecuencia. Todo solucioncita experto debe estar
familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo.
En lo que sigue se supone que el lector domina las propiedades básicas
de lasdesigualdades entre números reales.
La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de
la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente.
En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjuntoordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
* La notación a < b significa a es menor que b;
* La notación a > b significa a es mayor que b;
estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
* La notación a ≤ b significa a esmenor o igual que b;
* La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
* La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
* La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
* La notación a ≠ bsignifica que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

DESIGUALDAD DE MEDIDAS

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a1, a2, …, an, si
  | (Media armónica), |
| (Media geométrica), |
| (Mediaaritmética), |
| (Media cuadrática), |
entonces: .

PROPIEDADES

Propiedades de las desigualdades.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:
a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puedeescribir:
a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
a + m > b +m

Ejemplos:
9 > 5
9 + 2 > 5 + 2
11 > 7 | -2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9 |

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir,se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a =b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:
am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:
am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:
12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21 | 15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3> -5 |

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:
-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
-an <...