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Teoría de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

o  : el conjunto vacío, que carece deelementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, esdecir, a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llamapartes de A, y se denota  (A).
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dosconjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A
Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
o ' = U .
o U ' = .
o (A')' = A .
o A  B  B'  A' .
o Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos queson elementos de A y de B,
es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A  A = A A  A = A
2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C
4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A
5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 


Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
o A   = A , A   =  ( elemento nulo ).
o A  U = U , A  U = A ( elemento universal ).
o ( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A'  B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:

A  B := { (a,b) : a  A  b  B}

Dos pares (a,b) y...