Axiomática y geometría no euclídea

Ensayo final
Axiomática y geometría no euclídea

Es realmente interesante conocer que el método matemático se remota a Euclides. Y que de ningún modo es cierto que la matemática griega estuviesepresentada exclusivamente en la forma rígida de postulados de los Elementos. Tan grande fue la impresión producida por éste, que se transformó en un modelo para toda demostración rigurosa enmatemáticas.
En la matemática moderna, después de un alejamiento de la tradición euclídea, hubo una creciente penetración del método axiomático en todos los campos. Uno de los resultados más recientes “lalógica matemática”.
Probar un teorema en un sistema deductivo consiste en hacer ver que el teorema es una consecuencia lógica y necesaria de ciertas proposiciones previamente establecidas, que deben serprobadas.
Los axiomas son aceptados como verdaderas, y no e requiere de ninguna demostración. La elección de las proposiciones aceptadas como axiomas es en gran medida arbitraria. Los postulados debenser compatibles, no pueden deducirse de ellos dos teoremas contradictorios entre si y por otro lado debe ser suficiente, de tal modo que todo teorema sea deducible de ellos.
Los hechos matemáticosson aserciones objetivamente verdaderas, que describen realidades existentes. Los modernos matemáticos intuicionistas no confían en la intuición pura. Aceptan el infinito numerable como hijo legítimode la intuición y admiten solo propiedades constructivas. Muy diferente es el punto de vista adoptado por los formalistas. Estos no atribuyen una realidad intuitiva a los objetos matemáticos, niproclaman que los axiomas expresan verdades obvias concernientes a las realidades de la intuición pura.
El conflicto entre intuicionistas y formalistas obtuvo gran publicidad por obra de apasionadospartidarios de ambas escuelas. El mundo matemático fue sacudido por el grito de crisis en los fundamentos. Aun reconociendo los resultados obtenidos, seria completamente injustificado inferir en el...