Axioma De Eleccion 1

CONJUNTOS INFINITOS Y EL AXIOMA DE
ELECCION
Alumno: Julca Silva Jose Carlos
19 de mayo de 2013
Se sabe que un conjunto A es finito si tiene un su conjuntoinfinito numerale
existe alguna biyeccion entre A y un subconjunto propio de si mismo. pues
bien, cualquiera de estas dos propiedades es suficiente para caracterizarconjuntos infinitos.
Teorema 1 Sea A un conjunto. Son equivalentes:
1. Existe una funcion inyectiva f : Z+ →A
2. Existe un biyeccion de A con un subconjunto propio desi mismo.
3. A es infinito.
Demostracion. Probaremos las implicaciones (1)⇒(2)→(3)
Para probar(1)⇒(2) , suponemos que existe una funcion inyectiva f : Z+ →A.Representamos por B el conjunto de imagen f (Z+ ), y denotamos f (n) por an .
Como f es inyectiva, an =am si n=m.Definimos
g : A−→A – { a1 }
mediante las ecuacionesg(an ) = an+1 para an ∈ B,
g(x) = x para x ∈ A − B.
la aplicacion g esta indicada de forma esquematica en la figura acontinuacion
mostrada y se puede vert facilmenteque es un biyeccion .
La implicacion (2)⇒ (3) es el reciproco del Corolario : ”Si A es un conjunto finito no existe ninguna biyeccion de A con un subconjuntopropio de si
mismo” por tanto ya esta demostrado.
(3) ⇒(1), suponemos que A es infinito y construir “por induccion” una funcion
inyectiva f : Z+ →A.
En primer lugar, yaque el conjunto A es no vacio, podemos elegir un punto a1
de A, y definimos f (1)como el punto asi elegido
Entonces,suponiendo que tenemos definidos f (1),...,f(n–1),queremos definir f (n).
El conjunto A–f (1,..., n-1)no es vacio , pues si lo fuese , la aplicacion
f : {1 ,..., n–1}→A seria sobreyectiva y A finito
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