axioma de orden

Segundo Semestre 2010

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Axiomas de Orden

Para establecer una relaci´n de orden en el conjunto de los numeros
o
reales , es conveniente considerar un subconjunto de R, denotado por R+ ,
el que llamaremos conjunto de los reales positivos y que esta definido
por los siguientes axiomas:

Profesora : Elizabeth Aviles R. ()

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Definition
Propiedad de la invarianza para la adici´n: La suma de dos n´meros
o
u
positivos es un n´mero positivo. Esto es:
u

(∀a, b ∈ R) a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a + b ∈ R+

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Definition
Propiedad de la invarianza para la multiplicaci´n: El producto de dos
o
n´merospositivos es un n´mero positivo. Esto es:
u
u

(∀a, b ∈ R) a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a ∗ b ∈ R+

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Definition
Propiedad de tricotom´
ıa:Un n´mero real verifica una y s´lo una de las
u
o
siguientes posibilidades:
El n´mero es positivo
u

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Axiomas de Orden

Definition
Propiedad de tricotom´
ıa:Un n´mero real verifica una y s´lo una de las
u
o
siguientes posibilidades:
El n´mero es positivo
u
El n´mero es cero
u

Profesora : Elizabeth Aviles R. ()

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5 / 19

Axiomas de Orden

Definition
Propiedad de tricotom´
ıa:Un n´mero real verifica una y s´lo una de las
uo
siguientes posibilidades:
El n´mero es positivo
u
El n´mero es cero
u
El inverso aditivo del n´mero es un n´mero es positivo
u
u
Esto es:
(∀a ∈ R) a ∈ R+ a = 0 −a ∈ R+

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Definition
Sean a, b dos n´meros reales, se definen las siguientes relaciones de
u
desigualdad entre a y b :1

Si a > b ⇒ a − b > 0 ⇒ a − b ∈ R+

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Axiomas de Orden

Definition
Sean a, b dos n´meros reales, se definen las siguientes relaciones de
u
desigualdad entre a y b :
1

Si a > b ⇒ a − b > 0 ⇒ a − b ∈ R+

2

Si a < b ⇒ a − b < 0 ⇒ a − b ∈ R−

Profesora : Elizabeth Aviles R. ()

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Axiomas de Orden

Definition
Sean a, b dos n´meros reales, se definen las siguientes relaciones de
u
desigualdad entre a y b :
1

Si a > b ⇒ a − b > 0 ⇒ a − b ∈ R+

2

Si a < b ⇒ a − b < 0 ⇒ a − b ∈ R−

3

Si a

b ⇔ a > b∨a = b

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Axiomas de Orden

Definition
Sean a, bdos n´meros reales, se definen las siguientes relaciones de
u
desigualdad entre a y b :
1

Si a > b ⇒ a − b > 0 ⇒ a − b ∈ R+

2

Si a < b ⇒ a − b < 0 ⇒ a − b ∈ R−

3

Si a

4

Si a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b

b ⇔ a > b∨a = b

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1

Propiedades de las desigualdades

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Axiomas de Orden

1

Propiedades de las desigualdades
1

∀a, b, c ∈ R si a > b ⇒ a + c > b + c

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Axiomas de Orden

1

Propiedades de las desigualdades
1
2

∀a, b, c ∈ R si a > b ⇒ a + c > b + c
∀a, b, c ∈ R si a > b ∧ c > 0 ⇒ a∗ c > b ∗ c

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Axiomas de Orden

1

Propiedades de las desigualdades
1
2
3

∀a, b, c ∈ R si a > b ⇒ a + c > b + c
∀a, b, c ∈ R si a > b ∧ c > 0 ⇒ a ∗ c > b ∗ c
∀a, b, c ∈ R si a > b ∧ c < 0 ⇒ a ∗ c < b ∗ c

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