axioma del supremo

AXIOMA DEL SUPREMO
Definición.- Se dice que un cuerpo ordenado verifica el axioma del supremo, cuando todo

C

subconjunto A no vacío de K y acotado tiene supremo en K.
Proposición.- En todocuerpo K arquimediano y completo se verifica el axioma del supremo,

C

ü Demostración:
Sea A un conjunto de K no vacío y acotado superiormente y sea s una cota superior de A.
Como K esarquimediano, existe un elemento natural j ∈ K tal que s < y y j es pues cota superior
de A. Sea a ∈ A (existe por ser A no vacío) y elijamos que un entero i ∈ K tal que i < a (si a>0,
basta tomar i = 0 y sia -a y basta tomar i = - k).
Entonces entre i y j hay elementos de A y ningún elemento de A es mayor de j.
Para cada natural n, el conjunto de racionales de denominador n comprendidos entre
i=i.n
n

elemento

y

j=

j.n
es finito y, por tanto, hay uno mínimo que es cota superior de A. Sea tal
n

m1
m
y supongamos a n=
.
n
n

Queda definida así una sucesión (an ) deelementos de K. Veamos que es una sucesión de
Cuchy,
Si
y

m' 1
q

a p=

m
p

y

aq=

m'
q

son dos términos arbitrarios de la sucesión (an), como

son cotas superiores de A y
mm'1

p
q

m
p

y

m1
p

m'
no lo son, se tiene
q
m' m1

q
p

y

Por tanto si a q ≤a p
0≤a p −a q=

m m ' m' 1 m ' 1
− 
− =
p q
q
q q

Por tanto si a p ≤a q
0≤a q−ap=

m ' m m1 m 1
− 
− =
q
p
p
p p

Por ser K arquimediano, para cada ε > 0 de K existe un número natural n0 tal que 1/n0 < ε.
Y para p ≥ n0 y q≥ n0 se tiene

1 1
≤
p n0

y

1 1≤
q n0

y por consiguiente

1
∣a p−a q∣≤ 
p
Luego (an) es efectivamente una sucesión de Cauchy de K,

Como K es completo, existe un x ∈ K tal que x = lim n an .
Veamos que x = Sup A
Siexistiera un b ∈ A tal que b > x sería b – x > 0 y, por ser K arquimediano existe un
natural n, tal que
1
n1
b− x

Y por tanto
xb−

1
n1

Y como lim n an = x existirá un número...