Axioma

Axioma
1 Etimología
La palabra axioma proviene del sustantivo griego
αξιωμα, que significa «lo que parece justo» o, que se
le considera evidente, sin necesidad de demostración. El
término viene del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa «valorar», que a su vez procede de αξιος (axios):
«valioso» o «digno». Entre los filósofos griegos antiguos,
un axioma era lo que parecía verdadero sinnecesidad de
prueba alguna.

2 Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada
de verdadera por sí misma (el axioma), y de ésta inferir
otras proposiciones por medio del método deductivo, de
lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma.
A partir de los axiomas, y de reglas de inferencia, han
de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría
dada.

2.1 Axioma lógico
Losaxiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje formal
que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función vaA veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos
riable. En términos coloquiales son enunciados verdadesurge toda la teoría de la cual son axiomas.
ros en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, concualquier asignación de valores. CoUn axioma es una proposición que se considera «eviden- múnmente se toma como axioma un conjunto mínimo
te» y se acepta sin requerir demostración previa. En un de tautologías suficientes para probar una teoría.
sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de
Ejemplo 1 En cálculo proposicional escomún tomar
pensamiento lógico (por oposición a los postulados).[1]
como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que,
por considerarse evidente, se acepta sin demostración,
1. ϕ → (ψ → ϕ)
como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las considera2. (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))
das«afirmaciones evidentes», porque permiten deducir
las demás fórmulas.
3. (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ) ,
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de donde ϕ , ψ , y χ pueden ser cualquier fórmula en el
un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar lenguaje.
a una conclusión.
Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas,
En matemáticase distinguen dos tipos de proposiciones: una regla para generar un número infinito de axiomas. Por
axiomas lógicos y postulados.
ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces
1

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4 LIMITACIONES DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS

p → (q → r) y (p → ¬q) → (r → (p → ¬q)) son axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se acepinstancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.
tan comoverdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en
Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas ocasiones ser demostradas cuando no lo son.
de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos
esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Esteconjunto de esquemas
axiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: afirmación no trivial, son los teoremas,
que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces
poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados.
Unaconsecuencia inmediata de un teorema se llamará
corolario.

Muchas partes de la matemática están axiomatizadas, lo
que significa que existe un conjunto de axiomas de los
Ejemplo 2 Sea L un lenguaje de primer orden. Pacuales es posible deducir todas las verdades de esa parte
ra cada variable x la fórmula x = x es universalmente
de la matemática. Por ejemplo, de los axiomas de Peano
válida.
es...