Axiomas De Congruencia
em
at
i ca
s
CAP´ITULO 3
tit
u
LA RELACION DE CONGRUENCIA
ns
3.1.
to
de
M
AXIOMAS DE CONGRUENCIA
Un
iv
er
si d
ad
de
An
tio
qu
ia
,I
Cuando se piensa en la forma y tama˜
no de las figuras geom´etricas, surge
de un modo natural la posibilidad de que dos o m´as figuras coincidan.
El paso siguiente de nuestro trabajo, consiste en establecer una relaci´on que
incluye estaposibilidad en el tratamiento geom´etrico.
Vamos a denominar congruencia a esta nueva relaci´on. Ser´a suficiente establecer sin definici´on dicha relaci´on para segmentos y a´ngulos, y despu´es
extenderla mediante definiciones para otras figuras u objetos geom´etricos.
En adelante podremos hacer afirmaciones como: AB es congruente con CD,
o bien, ABC es congruente con DEF .
La relaci´on de congruenciaser´a denotada por el signo primitivo ∼
= y as´ı las
anteriores afirmaciones se podr´an escribir:
AB ∼
= CD, ABC ∼
= DEF
3.2.
AXIOMAS DE CONGRUENCIA
III.1 Axioma de la construcci´on del segmento
−−→
Sea AB un segmento cualquiera no nulo y CE una semirrecta de origen
−−→
C. Entonces existe en CE un u
´nico punto D tal que AB ∼
= CD
(ver Figura 1.).
25
CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
26A
B
//
//
C
D
E
at
em
at
i ca
s
Figura 1.
M
En t´erminos pr´acticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o
trasladar un segmento haciendo uso, por ejemplo, de regla y comp´as.
ns
tit
u
to
de
Las construcciones geom´etricas se hacen con regla y comp´as, el comp´as
sirve para trasladar la magnitud del segmento y la regla (sin numeraci´on)
para trazar rectas.
qu
ia
,IConstrucci´
on b´
asica: construir con regla y comp´as un segmento en una
−−→
semirrecta dada OX, dado el segmento AB.
de
An
tio
A
C
X
Figura 2.
Un
iv
er
si d
ad
O
B
Construcci´
on. (Ver Figura 2.) Para la construcci´on, haremos los siguientes
pasos consecutivos.
−−→
Con centro en O y radio AB trazo arco, que corta a OX en C .
El segmento OC es el segmento pedido.
Justificaci´
on. Estaconstrucci´on es consecuencia inmediata del Axioma de
construcci´on de segmento.
III.2
i) Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente consigo mismo,
es decir: AB ∼
= AB para todo segmento AB.
3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
27
ii) Propiedad de simetr´ıa: si AB ∼
= CD, entonces CD ∼
= AB.
iii) Propiedad transitiva: si AB ∼
= CD y CD ∼
= EF , entonces
AB ∼
= EF .
at
em
at
i ca
i) Si AB ∼
=A′ B ′ y BC ∼
= B ′ C ′ , entonces AC ∼
= A′ C ′
ii) Si AB ∼
= A′ B ′ y AC ∼
= A′ C ′ , entonces BC ∼
= B′C ′
s
III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A′ , B ′ , C ′ puntos de a o´ de otra
recta b, tales que B est´a entre A y C y B ′ entre A′ y C ′ .
tit
u
to
de
M
(ver Figura 3.)
El anterior axioma expresa que la “suma”y la “diferencia”de segmentos
congruentes, producen segmentoscongruentes.
//
B
a
C
//
B’
ad
de
C’
An
tio
qu
ia
///
,I
A
ns
/
/
A’
///
b
Un
iv
er
si d
Figura 3.
III.4 Axioma de la construcci´on del a´ngulo
−→ −−→
Sea ∡(OA, OB) un a´ngulo cualquiera y O′ un punto de una recta l
situada en un plano .
−−→
Sea l uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a
y O′ C ′
una de las semirrectas en que O′ divide a l. Entonces existe una semi−−→
rrectau
´nica O′ D situada en el conjunto l ∪ l tal que:
π
π
π
π
−−→ −−→
−→ −−→
∡(OA, OB) ∼
= ∡(O′ C ′ , O′ D)
CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
28
O’
A
C’
l
D
B
πl
s
O
at
em
at
i ca
Figura 4.
de
M
(ver Figura 4.)
ia
,I
ns
tit
u
to
Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un a´ngulo haciendo uso por ejemplo, del comp´as y la regla,esta
construcci´on la haremos m´as adelante.
An
tio
qu
III.5 El siguiente axioma expresa que la relaci´on de congruencia entre a´ngulos verifica las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva, en t´erminos
similares a los del axioma III.2, es decir:
si d
ad
de
−→ −−→
−→ −−→
i) Reflexiva: ∡(OA, OB) ∼
= ∡(OA, OB)
Un
iv
er
ii) Sim´etrica: si
entonces
−−→ −−→
−→ −−→
∡(OA, OB) ∼
= ∡(O′...
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