AXIOMAS DE CUERPO Y DE ORDEN EN EL CONJUNTO R.

AXIOMAS DE CUERPO DEL CONJUNTO R: El conjunto R, de los
números reales, es un conjunto numérico en el que definimos dos operaciones:
Adición: [+:(a,b) →a  b] y Multiplicación: [· :(a,b) →a b ] .Donde:
A.C.1. La suma es conmutativa:
Si a,bR, entonces a  b  b  a .
A.C.2. La suma es asociativa:
Si a,b,cR, entonces a  (b  c)  (a  b)  c .
A.C.3. Existencia del neutro (0) para lasuma:
aR, a  0  0 a  a.
A.C.4. Existencia del opuesto:
∀a∈R, ∃(-a) ∈R, tal que: a  (a)  (a)  a  0.
A.C.5. La multiplicación es conmutativa.
Si a,bR, entonces a b  ba .
A.C.6. Lamultiplicación es asociativa:
Si a,b,cR, entonces a  (b  c)  (a b)  c .
A.C.7. Existencia del neutro (1) para el producto.
aR, existe 1R, Tal que: a 11a  a.
A.C.8. Existencia delinverso multiplicativo:
1 1 1 1
a R,a 0, existe a R, tal que a a a a 1.
a
           
A.C.9. La multiplicación es distributiva respecto de la adición:
Si a,b,cR, entonces a  (b  c)  ab  a  c.
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Teorema 1. (Propiedad cancelativa de la suma):
Hipótesis: c + a = c + b. Tesis: a = b.
Teorema 2. (Unicidad delneutro aditivo).
Hipótesis: ∃0’∈ R / a + 0’ = a. Tesis: 0’ = 0.
Teorema 3. (Existencia de la diferencia de reales).
Hipotesis: a,b ∈R. Tesis: ∃d ∈R , tal que d + b = a.
Teorema 4. (Unicidad de ladiferencia).
Hipótesis: a – b = d, a – b = d’. Tesis: d = d’.
Teorema 5. (El 0 es absorbente para la multiplicación).
Hipótesis: a∈R. Tesis: a0  0 .
Teorema 6. (Propiedad cancelativa del producto).Hipótesis: ab  ac , a ≠0. Tesis: b = c.
Teorema 7. (Unicidad del neutro del producto).
Hipótesis: ∃1’∈ R , tal que a.1’ = a. Tesis: 1’ = 1.
Teorema 8. Si un producto de dos factores es igual acero, por lo menos uno de ellos
es cero. Hipótesis: ab  0. Tesis: a = 0 ó b = 0.
AXIOMAS DE ORDEN DEL CONJUNTO R+. El conjunto de los reales
positivos: En el conjunto de los números reales...