Axiomas de demostraciones. matematica

Axiomas de Orden
Supondremos que existe n subconjunto de R que lo notaremos R+. O1. Si x ∈ R+ y y ∈ R+, entonces x + y ∈ R+ y x ⋅ y ∈ R+. O2. Para todo número real x, se verifica una y solo una delas condiciones siguientes: i) x ∈ R+ ii) − x ∈ R+ o iii) x = 0

O3. Diremos que a < b si b − a > 0 a < b ⇔ ∃c ∈ R, tal que a + c = b Propiedades: 1. a < b ⇔ a + c < b + c Demostración: ⇒ P.D: a 0 ⇔b − a + c + ( − c) > 0 ⇔ ( b + c) + [( − a) + ( − c) ] > 0 ⇔ ( b + c) + [ − ( a + c) ] > 0 ⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0 ⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0 ⇒ a+c bc )

Demostración: Tenemos,
a 0 y c>0Entonces por O1 se cumple que,

(b − a) ⋅ c > 0
Luego,

(b − a) ⋅ c = b ⋅ c − a ⋅ c > 0
Y por tanto,
a ⋅c < b⋅c

Ahora también, a 0 y c < 0 ⇒ −c > 0 Entonces por O1 se cumple que,

( b − a) ⋅ (− c) > 0
Luego,

( b − a) ⋅ ( − c) = a ⋅ c − b ⋅ c > 0
Y por tanto, b⋅c < a ⋅c 3. Si a < b y b < c , entonces a < c Demostración: Tenemos, a 0 b < c ⇒ c −b > 0 y,

Entonces por O1 se cumpleque: ( b − a ) + ( c − b) > 0

Luego,

( b − a ) + ( c − b) = c − a > 0
Por lo tanto, a 0 Por O1 se cumple que, x⋅x > 0 x2 > 0 ii. Si x < 0 ⇔ − x > 0 Por O1 se cumple que,

( − x) ⋅ ( − x) > 0x2 > 0 iii. Si x = 0 x⋅ x = 0⋅0 = 0 Por lo tanto, en cualquier caso se cumple que x 2 ≥ 0 . 5. 1 > 0 Demostración: Tenemos, 1 = 12 ≥ 0 (Por parte 4)

Y como 1 ≠ 0 , entonces debe cumplirse que 1 > 0. 6. Si x > 0 , entonces x −1 > 0 (Si x < 0 , entonces x −1 < 0 )

Demostración: Demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos entonces que x −1 ≤ 0 Si x −1 = 0 , entonces x ⋅ x −1 = 0 , loque es una contradicción pues sabemos que x ⋅ x −1 = 1 . Si x −1 < 0 , entonces x ⋅ x −1 = 1 < 0 , lo que es un absurdo. Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y lo correcto sería decir que x −1 >0 . 7. Si x < 0 y y < 0 , entonces xy < 0 (Si x < 0 y y < 0 , entonces xy > 0 ) Demostración: Tenemos, x < 0 ⇔ (− x) > 0 y y>0 Entonces por O1 se cumple que,

( − x) ⋅ y > 0
Luego,

( − x ) ⋅ y...