Axiomas de densidad

Ana Álvarez Velasco y Miguel Ángel Mota Gaytán

Si la teoría de conjuntos se encuentra ahora en un periodo introspectivo, estoy convencido de que emergerá más fuerte que nunca y con mayor impacto sobre otras áreas de las matemáticas. RONALD JENSEN, 1995

El trabajo del lógico alemán Kurt Gödel ha sido uno de
los más reconocidos dentro y fuera del ámbito matemático del siglo XX. Uno de susresultados más famosos, conocido como el teorema de incompletud, establece que ex i sten enunciados que no pueden demostra rse ni refutarse a partir de teorías que se suponían suficientemente pod e ro s a s. Los no matemáticos considera ron, no sin mórbido placer, que esto implicaría el fin de las matemáticas como la reina de las ciencias; y los matemáticos, por lo general desdeñosos de los trabajosde la lógica matemática, lo re d u j e ron a un re s u l tado de interés filosófico que en nada interfería con sus labores de investigación. El enunciado que Gödel exhibió para demostrar su teorema es, en términos de contenido, completamente irrelevante y artificial. En otras palabras, no es uno que encierre una genuina preocupación matemática, sino que fue hecho ex profeso para la demostracióndel teorema y es completamente técnico, como los enunciados de “anita lava la tina” o “dábale arroz a la zo r ra el abad”, usados para ejemplificar los palíndromos —frases que se puede leer al derecho y al re v é s. Sin embargo, gracias al trabajo de Gödel y al de matemáticos como Paul Cohen, se advirtió que la gama de enunciados que entran en la categoría de los indecidibles —que no puedendemostrarse ni refutarse a partir de una teoría— es muy amplia e incluye algunas pre g u n tas que han obsesionado a los matemáticos durante largos periodos de tiempo. Uno de los ejemplos más re l e va ntes es el problema del continuo de Canto r, que consiste en determinar cuántos números reales hay, con el cual iniciaba la lista de los veintitrés desafíos de la matemática del siglo XX que Hilbertpresentó en el ConCI E NC I AS 78 ABRIL JUNIO 2005

g reso Internacional de Matemáticas celebrado en Pa r í s en 1900. El estudio sobre el tamaño del conjunto de los números reales se originó en problemas relacionados con las funciones y sus discontinuidades, pero se convirtió en un tema de interés en si mismo cuando Cantor, considerado el padre de la teoría de conjuntos, demostró un sorprendente yconmovedor resultado, aunque el conjunto de los números naturales y el de los reales son ambos infinitos, uno es más grande que el otro. Sin embargo, quedaba por determinar qué tan grande era el conjunto de los reales. Cantor estaba convencido de que no existía ningún conjunto infinito estrictamente más grande que los naturales y estrictamente menor que los reales, es decir, que la cantidad denúmeros reales, era la cantidad infinita que seguía a la cantidad de naturales. Pero nunca pudo demostrarlo.

Ahora se sabe que la hipótesis de Cantor, con los axiomas aceptados en la teoría de conjuntos, no puede demost ra rse ni refutarse; es decir, es un enunciado indecible a partir de esos axiomas. El principio que rige las demostraciones no es difícil de entender, a pesar de que las herramientaslógicas que se emplean sean sumamente complejas. Ambas se basan en otro resultado de Gödel — onocido c como el teorema de corre c t u d - c o m p l e t u d— en el que se establece un importante criterio: una teoría matemática es consistente (no contradictoria) si y sólo si tiene modelo. En términos muy intuitivos un modelo de una teoría axiomática es un mundo en el que todos los axiomas que lacomponen son ve rd a d e ro s. Por ejemplo, considere m o s la teoría T compuesta por los siguientes axiomas: axioma de asimetría, no existen a y b tales que a < b y b < a; axioma de transitividad, para todos a, b y c si a < b y b < c
CIE NCI AS 78 ABRIL JUNIO 2005

matemáticos y el símbolo de pertenencia es interpretado como la relación “ser elemento de”. Es de esperarse que en cualquier...