Axiomas de geometria plana

Geometría Euclídea Plana
Primer Cuatrimestre 2010

Axiomas de la geometría plana
1. Introducción 1.1. La evolución de la geometría y sus axiomas . . . . . . . 1.2. La geometría y la enseñanza . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Lo que haremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 6

2. Incidencia y separación (Axiomas I y II) 7 2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 10 3. Medidas de segmentos y ángulos (Axiomas III y IV) 11 3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Triángulos (Axioma V) 14 4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Rectas paralelas (Axioma VI) 20 5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Introducción
1.1. La evoluciónde la geometría y sus axiomas
Si preguntamos a una persona común qué es la matemática, muy posiblemente diga algo como «es una disciplina que trata de números», y alguna más versada balbuceará algo sobre las diferencias entre matemáticas «aplicadas» y «puras». Ambas respuestas son valederas, y la historia de las matemáticas las reflejan. Empezando por el deseo o necesidad de cuantificar,aparecieron los números (una vaca por tres ovejas), y al tiempo empezaron a medirse distancias y áreas (cuántos días de viaje), conduciendo a la geometría.1 De a poco, se fueron puliendo estas nociones, haciendo abstracciones sucesivas, tanto en los números (el «tres» es el mismo en «tres vacas» que en «tres días»), como en las formas (algo derecho es más fácil de medir que algo torcido), y luego pasamosde derecho a «recta», de mesa a «rectángulo». La inquietud humana llevó a observaciones, como «si los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 entonces tiene un ángulo recto», e inmediatamente a las
1 ¿Es necesario que ponga la etimología?

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Axiomas de la geometría plana preguntas: ¿es siempre así?, ¿para qué valores de los lados se forma un ángulo recto?, y el ángulo recto es el opuestoal lado que mide 5, ¿siempre el ángulo mayor se opone al lado mayor?, ¿y cuánto suman las medidas de los ángulos?, y... Una cosa lleva a la otra, y nos damos cuenta de que para poder deducir propiedades, debemos partir de supuestos que suponemos verdaderos, debemos saber qué es lo que suponemos conocido, en qué nos apoyamos para hacer determinadas afirmaciones. Rastreando hacia atrás, llegamos a unaserie de afirmaciones que tenemos que suponer válidas. Estas afirmaciones se llaman axiomas o postulados de la teoría. Euclides de Alejandría, unos 300 años a.C., propuso un tratamiento de la matemática conocida en ese entonces, basándose en definiciones, postulados y nociones comunes a partir de los cuales se deducen los resultados. En sus Elementos [4, 6], Euclides no sólo considera lo que hoyllamaríamos geometría, sino también lo que hoy llamaríamos teoría de números: problemas de divisibilidad y primalidad. En efecto, los griegos equiparaban las nociones de segmento y número (positivo). Euclides presenta cinco postulados (o axiomas): I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos. II. Una (fragmento de) línea recta se puede extender indefinidamente. III. Dados dospuntos, se puede trazar una circunferencia con centro en uno y que contenga al otro. IV. Todos los ángulos rectos son iguales. V. Si una recta corta a otras dos formando ángulos correspondientes internos que sumen menos de dos ángulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefinidamente) se cortan en un punto que está del mismo lado donde los ángulos correspondientes suman menos de dos rectos. Elquinto postulado se conoce como de las paralelas, ya que tiene la formulación equivalente, a veces llamada de Playfair (1748–1819), pero ya formulada por Proclo «el sucesor» (412–485): Dados una recta y un punto no en ella, se puede trazar una única paralela a la recta que pasa por el punto. Un sistema axiomático debe presentar propiedades de consistencia (las propiedades no se contradicen entre sí),...