Axiomas de la multiplicación

Axiomas de la multiplicación
M1.-
Asociatividad
. Para todo
x,y,z
∈
K
, se cumple (
x
·
y
)
·
z
=
x
·
(
y
·
z
)M2.-
Conmutatividad
. Para todox,y
∈
K
, se cumple
x
·
y
=
y
·
x
M3.-
Elemento neutro
. Existe un elemento 1
∈
K
, con 1

= 0, tal que1
·
x
=
x
, para cualesquiera que seax
∈
K
. Al elemento 1 se le llama
uno
.M4.-
Elemento recíproco para la mutiplicación
. Cada
x
∈
K
, con
x

= 0, tiene un recíproco
x
−
1
∈
K
,tal que
xx
−
1
= 1.

Sergio Plaza
31Dado
x,y
∈
K
, con
y

= 0, se usa la notación
xy
−
1
=
xy
, y se llama
división
.Con el producto,
K
−{0
}
es un
grupo abeliano multiplicativo
.La relación entre la adición y la multiplicación es dada por el siguienteaxioma.D1.-
Distributividad
. Paracualesquiera
x,y,z
∈
K
, se cumple
x
(
y
+
z
) =
xy
+
xz
.
Proposición 2.3.
Para todo
x
∈
K
, se cumple
x
·
0 = 0
.
Demostración
. Tenemos
x
·
0 +x
=
x
·
0 +
x
·
1 =
x
(0 + 1) =
x
·
1 =
x
, dedonde
x
·
0 = 0.

Proposición 2.4.
Sean
x,y
∈
K
, con
x
·
y
= 0
, entonces
x
= 0
oy
= 0
.
Demostración
. si
x
·
y
= 0 y
x

= 0, entonces
x
·
y
=
x
·
0, de donde sededuce que
y
= 0. Esto se deduce del hecho que si
x
·
z
=
x·
z
y
z

= 0,entonces
x
=
y
, lo cual es inmediato.

Del axioma de distrubutividad se deducen también las reglas de los signos.(
−
x
)
y
=
x
·(
−
y
) =
−
xy
(
−
x
)(
−
y
) =
xy.
En efecto, (
−
x
)
y
+
xy
= ((
−
x
) +
x
)
y
= 0
·
y
= 0, es decir, (
−
x
)
y
=
−
xy
.