Axiomas de los numeros Reales

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes yalgebraicos.

Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la igualdad), los axiomas de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferenciaentre los reales y los racionales).
Juntando todos los axiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R es un Cuerpo Ordenado Completo.
1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Losaxiomas de R sobre la igualdad también son llamados axiomas de cuerpo de los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)a) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su suma es un real y es independiente del orden en que se usen los dos sumandos, es decir:

Ejemplo.
x (1,2)
y (3,1)

x+y= (4,3)
y+x= (4,3)b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es independiente del orden en que se haga el producto, es decir:

Ejemplo.
x=3
y=2





Axioma 2. (Asociatividad)Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x+(y+z) = (x+z)+y. Sin embargo esta última igualdad es cierta, gracias a la combinación apropiada de los dos axiomas anteriores.
En efecto:Ejemplo.
x (1,2)
y (3,1)
z (2,5)




Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operandos de una triple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sinalterar el resultado. Es por esta razón, que en general, cuando hay varios sumandos, no se usan los paréntesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
Axioma 3. (Distributividad)

Observemos que eneste tercer axioma, la propiedad (b) es una consecuencia de la propiedad (a) más los axiomas previos (más precisamente, el de conmutatividad del producto). Es decir, este axioma es redundante y por lo...