axiomas de orden

Axiomas de Orden
Supondremos que existe n subconjunto de R que lo notaremos R+.
O1. Si x ∈ R+ y y ∈ R+, entonces x + y ∈ R+ y x ⋅ y ∈ R+.
O2. Para todo número real x, se verifica una y solo una delas condiciones siguientes:
i) x ∈ R+

ii) − x ∈ R+

o

iii) x = 0

O3. Diremos que a < b si b − a > 0
a < b ⇔ ∃c ∈ R, tal que a + c = b
Propiedades:
1. a < b ⇔ a + c < b + cDemostración:
⇒ P.D:

a 0 ⇔ b − a + c + ( − c) > 0
⇔ ( b + c) + [( − a) + ( − c) ] > 0
⇔ ( b + c) + [ − ( a + c) ] > 0
⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0
⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0
⇒ a+c bc )

Demostración:Tenemos,
a 0 y
c>0

Entonces por O1 se cumple que,

(b − a) ⋅ c > 0
Luego,

(b − a) ⋅ c = b ⋅ c − a ⋅ c > 0
Y por tanto,
a ⋅c < b⋅c

Ahora también,
a 0 y
c < 0 ⇒ −c > 0
Entonces por O1se cumple que,

( b − a) ⋅ ( − c) > 0
Luego,

( b − a) ⋅ ( − c) = a ⋅ c − b ⋅ c > 0
Y por tanto,
b⋅c < a ⋅c
3. Si a < b y b < c , entonces a < c
Demostración:
Tenemos,
a 0
b < c ⇒ c −b > 0y,

Entonces por O1 se cumple que:
( b − a ) + ( c − b) > 0

Luego,

( b − a ) + ( c − b) = c − a > 0
Por lo tanto,
a 0

i.

Por O1 se cumple que,
x⋅x > 0
x2 > 0
Si x < 0 ⇔ − x > 0ii.

Por O1 se cumple que,

( − x) ⋅ ( − x) > 0
x2 > 0
Si x = 0

iii.

x⋅ x = 0⋅0 = 0
Por lo tanto, en cualquier caso se cumple que x 2 ≥ 0 .
5. 1 > 0
Demostración:
Tenemos,
1 = 12≥ 0

(Por parte 4)

Y como 1 ≠ 0 , entonces debe cumplirse que 1 > 0 .
6. Si x > 0 , entonces x −1 > 0 (Si x < 0 , entonces x −1 < 0 )

Demostración:
Demostraremos por reducción al absurdo.Supongamos entonces que x −1 ≤ 0
Si x −1 = 0 , entonces x ⋅ x −1 = 0 , lo que es una contradicción pues sabemos que
x ⋅ x −1 = 1 .
Si x −1 < 0 , entonces x ⋅ x −1 = 1 < 0 , lo que es un absurdo.
Porlo tanto lo que supusimos es incorrecto y lo correcto sería decir que x −1 > 0 .
7. Si x < 0 y y < 0 , entonces xy < 0 (Si x < 0 y y < 0 , entonces xy > 0 )
Demostración:
Tenemos,
x < 0 ⇔ (−...