Axiomas de Peano

Axiomas de Peano

Inducción.
Deducción.
Recursividad.


Ingeniería Informática I Semestre.
Cristian Moreno S.
Matemáticas.

AXIOMAS DE PEANO
PARA LOS NÚMEROS NATURALES

El conjunto N de los números naturales puede ser introducido de forma natural como el conjunto de los cardinales de los conjuntos entre sí coordinables, en el sentido de Dedekind.
Resulta equivalente introducirlosdesde el punto de vista de un lenguaje formalizado, desde la lógica matemática, mediante un conjunto de axiomas o condiciones postuladas. En 1989 Giuseppe Peano propuso un conjunto de nueve axiomas (que después de algunas correcciones quedarían en solo cinco), con los cuales es posible deducir en N, tanto las propiedades de las operaciones internas de suma y multiplicación como su orden total. Enla presentación que sigue se exponen los cinco postulados de Peano y la derivación de las propiedades básicas para la suma y la multiplicación en N, así como su ordenación.

LOS AXIOMAS DE PEANO
Se define el conjunto N de los números naturales como un conjunto que verifica las cinco condiciones siguientes:
1) Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0)
2) Existe la llamadaaplicación.
3) El cero no es imagen por la aplicación.
4) La aplicación siguiente es inyectiva.
5) Se verifica la inducción completa.
¿Qué afirman estos cinco postulados o axiomas?
Resumiendo lo que afirman estos postulados o axiomas, podemos entender que se trata de un conjunto que tiene un elemento, el cero (Ax.1), que no es siguiente de ningún otro (Ax. 3), es decir, se trata del primer elemento delconjunto, y todos los demás elementos tienen cada uno un elemento siguiente (Ax. 2), de modo que dos elementos distintos tienen siguientes distintos (Ax.4). El quinto postulado es de suma importancia por dotarnos de un método de demostración de propiedades, ya que nos indica que todo conjunto A al que pertenezca el cero, y tal que todo elemento de A tiene siguiente en A, necesariamente ha decoincidir con el conjunto N de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominar: Método Simple de Inducción Completa (Ax. 5).
A partir de estas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma, de la inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.
Teorema 1.1: Ningún número natural coincide con su siguiente.
Teorema 1.2: Si dos aplicaciones de N en Nconmutan con la aplicación siguiente y tienen la misma imagen para el cero, entonces ambas coinciden.
Teorema 1.3: Si dos aplicaciones de N en N, f, g ∈ Ap(N) , tienen la misma imagen para el cero y existe alguna aplicación ρ de N en N tal que f oϕ = ρ o f , g oϕ = ρ o g , entonces ambas aplicaciones coinciden, esto es, f (n) = g(n), ∀n∈ N

La suma o adición de números naturales:
Definición2.1: Definimos la suma de números naturales como una aplicación S : N+N → N , de modo que para ∀n, m∈ N+N, S(n, m)∈ N se cumple que: 1) S(0,m) = m 2) S(ϕ (n),m) =ϕ[S(n, m)].

Teorema 2.2: La definición de suma es única, es decir, si 1S, 2S son sumas, entonces 1S = 2S
Teorema 2.3: Se verifican las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la suma de números naturales:
Lamultiplicación o producto de números naturales:
Definición 3.1: Definimos la multiplicación de números naturales como una aplicación P : NxN → N , de modo que para ∀n, m∈ NxN, P(n, m)∈ N se cumple que: 1) P(0,m) = 0 2) P(ϕ (n),m) = P(n, m) + m.
La ordenación:
De los axiomas de Peano sabemos que todo número natural tiene un siguiente. Veamos, que cualquier número natural, salvo el cero, es siguiente de otronúmero natural, mediante una sencilla proposición.
Teorema 4.1: Todo número natural distinto del cero es el siguiente de otro número natural.
Teorema 4.2: La relación “menor o igual que” es relación de orden, es decir, es reflexiva, anti simétrica y transitiva.
Teorema 4.3: Se verifica la alternativa siguiente: ∀a, b∈ N, a < b ∨ a = b ∨ a > b (propiedad de tricotomía). (Esto es lo mismo que...