AXIOMAS DE PEANO

AXIOMAS DE
PEANO
Postítulo para profesores de 1º ciclo
Básico

INTRODUCCIÓN

Algunas preguntas
¿Cómo se representa el resultado de un conteo?
¿Cómo representaban el resultado de un conteo en la
antigüedad?
¿Qué es para usted un número?

¿Qué es un número?
Número: Expresión de la cantidad computada con relación a
una unidad. Signo o conjunto de signos que representa el
número. (Dic. de la RealAcademia Española)
Número: Número es el resultado de la comparación entre una
magnitud y la unidad
Son entes abstractos desarrollados por el hombre como
modelos que permiten contar y medir. (Elon Lima)
Número: El conjunto de todos los conjuntos equivalentes a un
conjunto dado. (Def matemática)

Contar
¿Qué números utilizamos para contar?
Magnitud discreta: contar, N



Magnitud continua: medir,

R

Los números surgen de la necesidad humana de
cuantificar de forma precisa. En la antigüedad, en diversas
culturas se contaba hasta tres o cuatro, y si eran más,
entonces se les asignaba la palabra muchos.

Caracterización del conjunto
de los IN
Axiomas de Peano
Giuseppe Peano: un famoso matemático italiano de inicios del
siglo XX, definió los naturales a partir del concepto de
“sucesor”mediante cinco axiomas (tal como los definió):


1 es un número.



El sucesor inmediato de un número también es un
número.



1 no es el sucesor inmediato de ningún número.



Dos números distintos no tienen el mismo sucesor
inmediato.



Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato
de todo número que también tenga esa propiedad
pertenece a todos los números. (inducción matemática)1.

El hecho de considerar el 0 como natural o no, es tema de
controversia. Normalmente se considera que lo es según

Caracterización del conjunto
de los IN


Versión actual de los axiomas de Peano:
1.

2.

3.

4.

5.

1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los
números naturales es no vacío)
Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un
número natural. (llamado el sucesorde a)
1 no es sucesor de ningún número natural. (primer
elemento del conjunto)
Si hay dos números naturales a y b tales que sus
sucesores son diferentes entonces a y b son números
naturales diferentes.
Axioma de inducción: si un conjunto de números
naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de
sus elementos entonces contiene a todos los números
naturales.

Construcción de IN a partir delos
Axiomas de Peano: La secuencia
numérica
 Empezamos por el elemento 1, luego
para escribir el siguiente elemento
aplicamos el sucesor de 1 a 1, el que
sigue a ese es el resultado de aplicar el
sucesor del sucesor a 1,….
 Como
resultado
obtenemos:
1,2,3,4,5,6,7,…
…o sea la secuencia numérica.

Relación de orden
a y b. a b   c  a + c = b
Transitividad:
Si a  b y b  c  a  c,  a, by c 
 Tricotomía:
Si a y b  a b ó a  b ó a = b
 Monotonía:
 a, b y c . a  b  a + c  b + c y a x c
bxc


OPERACIONES
Significado, propiedades y algoritmos
sobre la secuencia numérica a partir
de la noción de sucesor…

Adición en IN


Significado de la operación suma; (ej 7 + 2), Juntar,
añadir...

+

La suma de n+p se obtiene de aplicar al número n, p
veces seguidas laoperación de tomar el sucesor.


7 + 2 -> el sucesor del sucesor de 7, o sea el 9



En esta idea es que se basa la técnica del “sobre
conteo”



La aplicación de esta técnica requiere conocer la
secuencia numérica

Propiedades de la Adición en IN:
Conmutativa
+

=

+

7 + 2 = 2 +7

En ambos casos obtenemos el mismo
resultado.
El proceso de sobrecontar
Esta propiedad puede ser utilizada
obliga a llevardos cuentas,
para simplificar determinados
por tanto cuantas menos
cálculos por “sobreconteo”.
2+7 ->
10, 11

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

7+2 ->
10, 11

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

unidades se tengan que
sobrecontar más fácil es
calcular la suma. Entonces
conviene escoger el sumando
mayor como número inicial y
sobrecontar tantas unidades
como el sumando menor

Propiedades de la Adición en IN:...