Axiomas de peao

Axiomas de Peano
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Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para la aritmética introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud dela aritmética y la teoría de números.
Los cinco axiomas de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece aun conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.
Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando seresuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:
1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, ydado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Cuando se incluye al 0
Símbolos primitivos:
Axiomas:

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es sólo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicaciónhay que hacer algunos leves ajustes más:
* Definiciones de suma y multiplicación:
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* Axiomas de la suma y de la multiplicación:
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Axiomas de Peano
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1. El 0 es un número natural.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n’.
3. El 0 no es un sucesor.
4. Si n’ = m’ entonces n = m.
5. Principio deInducción Matemática. Si un conjunto S cumple:
a. [B] 0 está es S
b. [I] Siempre que n está en S n’ también está
entonces S contiene a todos los números naturales.
El quinto axioma viene a ser la base de muchos conceptos y demostraciones en matemáticas y computación. Ver Induccion Matematica.
Nota: Algunos autores prefieren tomar el número 1 para el caso base, en lugar del cero, debemostener en cuenta que el propósito de Peano fue constructivo y formalizador por lo que de esta forma es un poco más directo; el conjunto de números naturales así definido ya tiene elementos neutros una vez que se definen las operaciones de suma y multiplicación, por lo que es más fácil construir los demás números

2. AXIOMAS DE PEANO
 
2.1 Enunciados
 
Los axiomas de Peano para el conjunto N delos números naturales son:
 
P1) Existe un elemento que denotaremos 0 N.
P2) Para todo a N existe otro que denotaremos s(a) N Y denominaremos sucesor de a.
P3) Para todo a N su sucesor s(a) es distinto de 0.
P4) Dados a, b N con el mismo sucesor s(a)=s(b) entonces a=b.
P5) Dado un subconjunto M N tal que
 
i) 0 M
ii) Si a M también s(a) M.
Entonces M=N:
 
2.2 Comentarios
 1. 1.      Los cinco axiomas de Peano son las propiedades esenciales para identificar un conjunto con el conjunto de los números naturales. Pueden también enunciarse eliminando el elemento 0 y cambiándolo por el 1.
2. 2.      La interpretación de los axiomas es la siguiente. Cada número natural posee otro asociado que le sigue, su sucesor (P2). Hay un número natural, el 0 que no sigue a...