Axiomas Reales

A XIOMAS DE LOS N ÚMEROS R EALES

Axioma Fundamental

M1. ( x · y) · z = x · (y · z) para todo x, y, z ∈ R.
M2. x · y = y · x para todo x, y ∈ R.

Existe un conjunto llamado el CONJUNTO DELOS
NÚMEROS REALES , denotado por R, que satisface
los cuatro tipos de axiomas: de igualdad, de cuerpo, de orden y de completitud.

M3. Existe un elemento de R, denotado por 1, tal
que x ·1 = x para todo x ∈ R.
M4. Para cada x ∈ R tal que x = 0, existe un y ∈ R
tal que x · y = 1. A este elemento lo notaremos
x −1 .

Axiomas de igualdad

D1. Para todo x, y, z ∈ R, x · (y +z) = x · y + x · z.

Para los elementos x, y, z de R, existe una relación llamada de IGUALDAD, denotada por “=”, que
cumple las siguientes propiedades:

D2. 0 = 1.

I1. x = x para todo x ∈R.

Axiomas de orden

I2. Si x = y, entonces y = x.

Existe un subconjunto R + ⊆ R, llamado el conjunto
de los NÚMEROS REALES POSITIVOS, que cumple las
siguientes propiedades:

I3. Si x = yy y = z, entonces x = z.
I4. Si P( x ) es una proposición verdadera, y x = y,
entonces P(y) también es verdadera.

O1. La suma y producto de números reales positivos son números realespositivos. Es decir, si
x, y ∈ R + , entonces x + y ∈ R + y x · y ∈ R + .

Axiomas de cuerpo
En el conjunto R se definen dos operaciones internas (binarias), llamadas ADICIÓN y MULTIPLICA CIÓN,denotadas por x + y y x · y respectivamente,
que cumple las siguientes propiedades:

O2. Dado x ∈ R, se verifica una, y solo una de las
siguientes tres alternativas:
• x = 0,
• x ∈ R+ ,A1. ( x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.

• −x ∈ R+ .

A2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R.
A3. Existe un elemento de R, denotado por 0, tal
que x + 0 = x para todo x ∈ R.Axiomas de completitud

A4. Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que
x + y = 0. A este elemento lo notaremos − x.

C1. Todo conjunto no vacío y acotado superiormente X ⊆ R posee supremo.

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