Axiomas y demostraciones numeros reales

Axiomas y Teoremas
Axiomas de la Suma:
Axiomas de la Multiplicación:
Axiomas de Orden:
Axioma de sustitución: Si a y b pertenecen a un conjunto B y sia=b entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación
Axiomas de Orden:
Teoremas:Ejercicios
5. ∀a∈R,a≠0 demostrar que a2+9a2≥6
Si a≠0⟹∃a-1=1a∈R (Por M4)
Si 1a∈R⟹3.1a=3a∈R (Por M0)
a-3a∈R (Por A0)
Por T6:
Como a>0⟹∃a>0∈R
Comob>0⟹∃b>0∈R
Como a≠b y por T6
Como a>0⟹∃a>0∈R
Como b>0⟹∃b>0∈R
Como a≠b y por T6
Demostrar ab+cd2≤a2+c2(b2+d2)
Como a,b,c,d∈R entonces a.d-b.c∈R
Ademása2b2+c2d2∈R
Por T6
Como a,b>0⟹∃a-b>0∈R
Por T6
Asimismo, como c,d>0⟹∃c-d>0∈R
Por T6
También:
Como a,b,c,d>0⟹∃a+b2-c+d2≥0∈R
Por T6
Por α, β y O2Como a0
Luego, como a,c>0⟹∃a-c∈R
Por T6
Si aplicamos O4 a α multiplicando por a>0
Si aplicamos O4 a α multiplicando por c>0
Luego, como b,c>0⟹∃b-c∈RPor T6
Si aplicamos O4 a α multiplicando por b>0
Si aplicamos O4 a α multiplicando por c>0
Por T3 y (i),(ii),(iii),(iv),(v) y (vi)
a3>2a2b-ab2b3>2ab2-a2b
a3>2a2c-ac2
c3>2ac2-a2c
b3>2b2c-bc2
c3>2bc2-b2c+
2a3+2b3+2c3>a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2
Por D1:
2(a3+b3+c3)>aba+b+aca+c+bc(b+c)2(a3+b3+c3)>bcb+c+aca+c+aba+b
51. Para x∈R y n par demostrar que xnx2n+1≤12
Como xn∈R⇒xn-1∈R
Por T6
Como 2n es par, tenemos x2n+1>0
Como n es par, xn>0Entonces ambos miembros tienen el mismo signo y aplicando T8
76. Si a,b∈R+ demostrar que (a2+b2)a+b2≥8a2b2
Como a,b∈R+⇒a-b∈R
Por T6
También por T6