Axiomas Y Teoremas De La Probabilidad

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas

Teoremas que a continuación se enumeran.

 1) a probabilidad de que ocurra un evento Acualquiera se encuentra entre cero y uno.

 0 ( p(A) ( 1

2) a probabilidad de que ocurra el espacio muestral ( debe de ser 1.

p () = 1

 3) i A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces lap(A(B) = p(A) + p(B) Generalizando:

 Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

 p(A1(A2(.........(An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)



TEOREMASTEOREMA 1

. Si ( es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra ( debe ser cero.

p(()=0 DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a (un evento A cualquiera, como ( y A son dos eventosmutuamente excluyentes, entonces p(A(()=p(A) +p(()=p(A). LQQD

 

TEOREMA 2.

La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral (, se divide en doseventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego (=A(Ac, por tanto p(()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3.

Si un evento A ( B, entoncesla p(A) ( p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A((B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)(0entonces se cumple que p(A)(p(B). LQQD

TEOREMA 4.

La p( A \ B )= p(A) – p(A(B)

 DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamenteexcluyentes, (A \ B) y A(B, por tanto, A=(A \ B)((A(B), luego p(A)=p(A \ B) + p(A(B), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(A(B). LQQD

TEOREMA 5.

Para dos eventos A y B, p(A(B)=p(A) + p(B) – p(A(B).DEMOSTRACIÓN: Si A(B = (A \ B) ( B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A ( B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(A(B), por tanto, p(A(B) =...